Свойства инволюций 6.5

6.5.1. Инволюция может иметь либо две инвариантные точки, либо ни одной.

Если инволюция имеет две инвариантные точки, то она называется гиперболической; если инволюция не имеет инвариантных точек, то она называется эллиптической.

6.5.2. Если и - инвариантные точки гипербоинволюции, то они гармонически разделяют любую пару соответствующих при инволюции точек этой прямой.

Теорема 6.6. (признак инволюции) Если проективное преобразование прямой какую-нибудь точку прямой переводит в точку , а точку в точку , то оно является инволюцией.

Инвариантные точки и инвариантные прямые

Пусть дано проективное преобразование плоскости: Определитель матрицы преобразований отличен от нуля.

Определение 6.7. Точка проективной плоскостиназывается инвариантной точкой проективного преобразования , если ее образ совпадает с точкой .

Найдем характеристическое уравнение для нахождения инвариантных точек. Пусть , тогда, если - инвариантная точка, тои . В формулах проективных преобразований плоскости заменим

на :

Выполнив преобразования, получим:

.

Система уравнений однородна, имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю: - характеристическое уравнение для нахождения инвариантных точек. Оно имеет по крайней мере один действительный корень. Решая, находим , которое позволяет найти координаты инвариантной точки. Таким образом, всякое проективное преобразование плоскости имеет по крайней мере одну инвариантную точку.

Определение 6.8. Прямая называется инвариантной прямой проективного преобразования , если ее образ совпадает с прямой . (Образ любой точки прямой принадлежит этой же прямой ).

Пусть прямая задана уравнением и точка прямой . При проективном преобразовании точка переходит в точку . Так как прямая инвариантная, то точка принадлежит прямой , и координаты этой точки удовлетворяют ее уравнению: (*).

Подставим в уравнение (*) вместо их выражения из формул проективных преобразований при . Получим:

(**)

Полученное уравнение (**) является уравнением прямой , так как она инвариантная, то есть уравнение (**) должно совпадать с уравнением . Тогда коэффициенты при неизвестных будут пропорциональными.

.

Так как не равны нулю одновременно, то определитель системы равен нулю. Итак, всякое проективное преобразование имеет по крайней мере одну инвариантную прямую.

Дата добавления: 2014-01-11