Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда

Теорема 1. Если абсолютные величины членов знакочере­дующегося ряда (1) монотонно убывают и об­щий член ряда стремится к нулю:, то ряд сходится.

Доказательство. Пусть дан ряд (1) и пусть и при . Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

.

Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм является воз­растающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде

.

Отсюда следует, что для любого , т. е. ограни­чена.

Итак, последовательность возрастающая и ограниченная,

следовательно, она имеет предел .

Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм не­четного числа членов сходится к тому же пределу . Действительно, . Переходя в этом равенстве к пределу при и используя второе условие (при ), полу­чаем

.

Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к пределу . Это и означает, что ряд (1) сходится. Теорема доказана.

Пример. Ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ; 2) . Заметим, что этот ряд отли­чается от гармонического ряда только знаками четных членов.

Дата добавления: 2014-01-11