КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ряды Маклорена и ТейлораКак показывает следующая теорема, разложение функции в степенной ряд единственно. Теорема 6. Если функция f(х) на интервале ( — R, R) разлагается в степенной ряд , (8) то это разложение единственно. Доказательство. По условию ряд (8) сходится на интервале (— R, R) и функция f(х) — его сумма. Следовательно, на основании теоремы 14.14 ряд (8) можно почленно дифференцировать на интервале (— R, R) любое число раз. Дифференцируя, получаем Полагая в полученных равенствах и в равенстве (8) , имеем откуда находим (9) Таким образом, все коэффициенты ряда (8) определяются единственным образом формулами (9), что и доказывает теорему. Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство (8), получаем Итак, если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид (10) Ряд (10) называется рядом Маклорена для функции f(х). Пусть теперь f(х) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция. Для нее можно составить ряд (10). Установим, при каких условиях сумма ряда (10) совпадает с функцией f(х). Ответ на этот вопрос можно получить с помощью формулы Маклорена. Из математического анализа известно, что для любой бесконечно дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена , где остаточный член . (11) Если обозначить через частичную сумму ряда Маклорена, то формулу Маклорена можно записать так: . (12) Имеет место следующая теорема. Теорема 7. Для того чтобы ряд Макларена (10) сходился на ( — R, R) и имел своей суммой функцию f(x), необходимо и достаточно, чтобы на (—R, R) остаточный член Rn(x) формулы Маклорена (11) стремился к нулю при , т. е. для любого . Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) — сумма ряда Маклорена на ( — R, R), т. е. . Тогда из равенства (12) следует, что для любого . Достаточность. Пусть для любого . Тогда из равенства (12) следует, что , т. е. . Это и означает, что ряд Маклорена (10) сходится на (— R, R) и его сумма равна f(х). Теорема доказана. Из теоремы вытекает, что вопрос о разложении функции в ряд Маклорена сводится к исследованию поведения остаточного члена Rn(x) при . Если в ряде Маклорена рассматривать значение функции в окрестности произвольной точке х = a, в которой f(х) имеет необходимое число производных, то разложение f(х) в окрестности точки a называется рядом Тейлора:
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 478; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |