Свойства определителей

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется число. Очевидно, если сумма четная, то алгебраическое дополнение имеет тот же знак, что и минор. Если же сумма нечетная, то знак изменится на противоположный.

Из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы можно в свою очередь также составить матрицу. Такая матрица будет называться присоединенной (союзной, взаимной).

где С^*- присоединенная матрица, А_ij – алгебраические дополнения.

Также присоединенной называют транспонированную матрицу С^*.

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Эта формула называется разложением определителя по элементам j-го столбца.

Эта формула называется разложением определителя по элементам
i-ой строки.

Сформулируем общую теорему для вычисления определителя любого порядка. Перед этим дадим некоторые общие определения.

Пусть дан определитель d порядка n. Берем целое число k, удовлетворяющее условию , и в определителе d выбираем произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, т.е. принадлежащие к одной из выбранных строк и к одному из выбранных столбцов, составляют, очевидно матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка определителя d. Пусть в определителе d n -го порядка взят минор M k- го порядка. Если мы вычеркнем те строки и столбцы, на пересечении которых стоит этот минор, то останется минор -го порядка, который называется дополнительным минором для минора М. Если мы вычеркнем, наоборот, те строки и столбцы, в которых расположены элементы минора , то останется,очевидно, минор М. Таким образом, можно говорить о паре взаимно дополнительных миноров определителя. В частности, элемент и минор (n-1) -го порядка, получающийся вычеркиванием в определителе i-ой строки и j–го столбца, будут составлять пару взаимно дополнительных миноров.

Если минор k -го порядка М расположен в строках с номерами и в столбцах с номерами , то назовем алгебраическим дополнением минора М его дополнительный минор , взятый со знаком плюс или минус в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор М, т.е. сумма . Другими словами, алгебраическим дополнением для минора М будет число .

Нижеследующая теорема говорит о разложении определителя по нескольким строкам или столбцам.

Теорема Лапласа. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), .Тогда сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

Теорема Лапласа позволяет сводить вычисление определителя n-го порядка к вычислению нескольких определителей порядков k и (n-k).

1. Определитель не меняется при транспонировании.

Это означает, что строки и столбцы определителя равноправны.

Пример 2.

2. Если одна из строк или один из столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Пример 3.

3. При перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет знак.

Пример 4. Поменяем местами в определителе из примера 1 строки 2 и 3. Вычислим получившийся определитель.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю.

Пример 5.

5. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя умножить на число k , то сам определитель умножится на это число. Другими словами, общий множитель всех элементов некоторой строки или некоторого столбца можно вынести за знак определителя.

Пример 6.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Пример 7.

7. Если все элементы i-ой строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых: , то данный определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -ой, такие же как и в заданном определителе, а i -я строка в одном из слагаемых состоит из элементов , а в другом – из элементов , т.е.

Таким образом, прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число k , не меняет определителя.

Пример 8.

Дадим общее определение определителя n - го порядка. Для этого сначала рассмотрим некоторые понятия.

Всякое расположение чисел 1,2 …n в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел. Если в некоторой перестановке мы поменяем местами какие-либо два символа (не обязательно стоящие рядом), а все остальные символы оставим на месте, то получим, очевидно, новую перестановку. Это преобразование перестановки называется транспозицией. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию, если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j. Перестановка называется четной, если ее символы составляют четное число инверсий и нечетной – в противоположном случае.

Определителем n - го порядка, с оответствующим матрице, называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае.

Пример 9: Упростить и вычислить определитель четвертого порядка

.

Решение: Получим нули во втором столбце определителя. Для этого умножим первую строку на (-4),(-1),(-2), и сложим соответственно со второй, третьей, четвертой строками. Полученный определитель разложим по второму столбцу.

Пример 10: Упростить и вычислить определитель третьего порядка .

Решение: Пользуясь свойством 5, вынесем множитель 3 из третьей строки за знак определителя, множитель 2 – из второго столбца, затем, пользуясь свойством 7, умножим первую строку на (-3) и сложим со второй строкой, прибавим первую строку к третьей, полученный определитель разложим по первому столбцу:

Дата добавления: 2014-01-11