Рекурсивні системи

Означення. Якщо в економетричній моделі (7.2) матриця А має трикутний вид, а залишки характеризуються діагональною матрицею S, то така система рівнянь називається рекурсивною.

Нехай економетрична модель на основі одночасових структурних рівнянь запишеться так:

(7.15)

матриця коваріацій залишків для неї

(7.16)

Як відомо, труднощі оцінки системи рівнянь виникають тоді, коли спостерігається кореляція між залишками і залежними змінними. Тому нам потрібно переконатись в тому, що спеціальні властивості рекурсивної моделі дають змогу подолати ці труднощі.

Запишемо структурні рівняння в матричному вигляді

(7.17)

Зведена форма їх запишеться так:

(7.18)

де (7.19)

Помножимо (7.17) ліворуч на і перейдемо в обох частинах здобутої рівності до границі за ймовірністю:

Оскільки згідно з припущенням , то справджується рівність:

Запишемо ліву частину рівності, скориставшись(16.19):

(7.20)

Коли економетрична модель має три структурні рівняння і три залежні змінні, то (7.20) можна записати так:

(7.21)

де

а через А^kj позначено алгебраїчне доповнення елемента a_kj.

Таким чином, ми одержали основний результат, який полягає в тому, що u₂ не корелює гранично з Y ₁, u₃ не корелює гранично з Y ₁ і Y ₂. А це означає, що для оцінки параметрів системи (7.13) можна застосувати 1МНК. У численних публікаціях Волда показано, що реальні економічні системи найчастіше описуються рекурсивними системами рівнянь. Цей висновок він аргументує тим, що реальне формування кожного з показників, які входять до моделі, є неодночасним. Наприклад, залежність ціни від пропозиції товару на ринку. Якщо часовий період дорівнює одному дню, то ціна на товар в t- й день встановлюється у врахуванням продажу в t- 1 день, тоді як попит на товар залежить від ціни, за якою продавався товар в цей самий день. Запишемо ці рівняння:

(7.22)

Наведена модель є рекурсивною, бо р_t. і g_t — поточні значення залежних ендогенних змінних, a g_{t -1} — розглядається як екзогенна змінна, яка бере участь у послідовності причинних зв'язків.

Ця послідовність містить тільки прямі зв'язки, що дозволяє нам вважати залишки незалежними.

У рекурсивних системах матриця коефіцієнтів при залежних змінних трикутна. Наприклад, у системі рівнянь (7.22) коефіцієнти при змінних р_t. і g_t, утворюють таку матрицю:

Оскільки залишки в рівняннях нормально розподілені, то для оцінювання параметрів моделі можна використати 1 МНК.

7.3. НЕПРЯМИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ (НМНК)

Повернемось до моделі (7.5), яка має два структурні рівняння. В попередньому параграфі було показано, що між залежною змінною Y_t і залишками u_t існує кореляція. Застосування 1МНК для оцінки параметрів цієї моделі дає зміщення. Тому необхідно розглянути альтернативні методи оцінки параметрів, які дозволили б уникнути зміщення. Один з таких методів є непрямий метод найменших квадратів. Він складається з двох процедур. Спочатку застосовується 1МНК для оцінки параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі (7.7) — (7.8). Основна особливість такої форми полягає в тому, що її здобуто в результаті розв'язування структурної системи рівнянь відносно поточних значень ендогенних змінних, і зведена форма виражає їх як функції всіх інших змінних моделі таким чином, що кожне рівняння в такій формі має поточне значення тільки однієї ендогенної змінної.

Припущення (7.6) дозволяють безпосередньо застосувати 1МНК для оцінювання коефіцієнтів рівнянь зведеної форми, тобто рівнянь (7.7) і (7.8). Звідси:

- найкраща незміщена оцінка параметра (7.23)

- найкраща незміщена оцінка параметра (7. 24)

- найкраща незміщена оцінка параметра першого рівняння; (7.25)

- найкраща незміщена оцінка параметра другого рівняння. (7.26)

З (7.23) знайдемо значення параметра для першого рівняння структурної форми:

Оскільки або де малими буквами позначені відхилення від середніх, то справджується рівність:

Звідси:

(7.27)

Це значення параметра також можна було одержати на основі (7.24).

Отже, обидва рівняння приводять до ідентичної оцінки параметра a ₁. Інші два рівняння (7.25) і (7.26) дадуть нам одну й ту саму оцінку параметра a ₀.

(7.28)

Хоч оцінки (7.27) і (7.28) є незміщеними оцінками параметрів зведеної форми, вони не будуть незміщеними оцінками параметра a ₀ і a ₁ структурної форми (7.5). Але вони будуть обґрунтованими.

Алгоритм непрямого методу найменших квадратів

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння структурної форми моделі. Якщо кожне рівняння точно ідентифіковане, то переходимо до кроку 2.

Крок 2. Кожне рівняння структурної форми розв'язується відносно однієї з k залежних ендогенних змінних моделі, у результаті приходимо до зведеної форми моделі.

Крок 3. На основі 1МНК визначається оцінка параметрів окремо для кожного рівняння зведеної форми.

Крок 4. Розраховується оцінка параметрів рівнянь структурної форми за допомогою співвідношення AR = -В, де А і В параметри структурних рівнянь, a R — матриця оцінок параметрів зведеної форми.

7.4. ДВОКРОКОВИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ (2МНК)

Якщо рівняння структурної форми моделі над ідентифіковані, то непрямий метод найменших квадратів застосувати не можна, а користуватись 1 МНК недоцільно, тому необхідно розглянути інші методи, які розроблені спеціально для таких моделей. Одним з цих методів є двокроковий метод найменших квадратів (2МНК).

Розглянемо двокроковий метод найменших квадратів для загальної економетричної моделі. Нехай окреме рівняння моделі має вигляд:

Y = Y ₁ a + X ₁ b + u,

де Y — вектор ендогенної змінної розміром п ´ 1; Y₁ — матриця поточних екзогенних змінних, які входять в праву частину рівняння розміром п ´ r; X ₁ — матриця екзогенних змінних розміром п ´ k (включаючи стовпець одиниць, якщо потрібно визначити вільний член); а — вектор структурних параметрів розміром r ´ 1, які стосуються змінних матриці Y ₁; b — вектор структурних параметрів розміром k ´ 1, які стосуються до змінних матриці X ₁; и — вектор залишків розміром n ´ 1.

Алгоритм ДМНК

Крок 1. Перевіряється кожне рівняння моделі на ідентифікованість. Якщо рівняння над ідентифіковані, то для оцінки параметрів кожного з них можна використати оператор оцінювання:

.

Крок 2. Знаходження добутку матриць поточних ендогенних змінних, які містяться у правій частині моделі, на матрицю всіх екзогенних змінних моделі, тобто Y ₁¢ Х.

Крок 3. Обчислення матриці Х'Х і знаходження оберненої матриці(Х¢X)^-1 .

Крок 4. Визначення добутку матриць всіх екзогенних змінних і ендогенних змінних у правій частині моделі, тобто X' Y ₁ .

Крок 5. Знаходження добутку матриць, які здобуто на кроках 2,3,4, тобто Y ₁' Х (X’X)^-1 X’Y ₁.

Крок 6. Визначення добутку матриць ендогенних змінних у правій частині моделі і екзогенних змінних, які внесені до даного рівняння, тобто Y ₁¢ X ₁.

Крок 7. Знаходження добутку матриць екзогенних змінних, які входять в дане рівняння, і ендогенних змінних правої частини системи рівнянь, тобто X ₁¢ Y ₁.

Крок 8. Визначення добутку матриць екзогенних змінних даного рівняння, тобто X ₁¢ X ₁.

Крок 9. Знаходження матриці, оберненої до блочної:

Крок 10. Визначення добутку матриць X ¢ Y ₁, де X ¢— матриця всіх екзогенних змінних моделі, Y ₁ — вектор залежної ендогенної змінної лівої частини рівняння.

Крок 11. Знаходження добутку матриць:

Крок 12. Визначення параметрів моделі:

Крок 13. Обчислення s -ї залежності ендогенної змінної на основі знайдених параметрів і :

Крок 14. Обчислення вектора залишків в s- му рівнянні системи:

Крок 15. Визначення дисперсії залишків для кожного рівняння:

Крок 16. Знаходження матриці коваріацій для параметрів кожного рівняння:

.

Крок 17. Знаходження стандартної помилки параметрів і визначення довірчих інтервалів:

7.5. ТРИКРОКОВИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ (ЗМНК)

Розглянуті вище два методи — непрямий і двокроковий методи найменших квадратів застосовуються для оцінки параметрів кожного окремого рівняння моделі. Трикроковий метод найменших квадратів призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі.

Зельнер і Гейл запропонували трикроковий метод найменших квадратів, який за певних обставин є більш ефективним, ніж двокроковий.

Розглянемо загальну лінійну модель, яка містить r взаємозв'язаних ендогенних і k екзогенних змінних. Запишемо s -те рівняння цієї моделі у вигляді

(7.29)

де Y_s — вектор ендогенної змінної розміром п ´ 1; Y _s — матриця поточних ендогенних змінних s –ого рівняння, які входять в праву частину рівняння розміром п ´ r; X_s — матриця екзогенних змінних s –ого рівняння розміром п ´ k_s; а_s — вектор структурних параметрів розміром r ´ 1, які стосуються змінних матриці Y _s; b_s — вектор структурних параметрів розміром k ´ 1, які стосуються до змінних матриці X _s; и_s — вектор залишків розміром n ´ 1.

Трикроковий метод найменших квадратів забезпечує кращу порівняно з двокроковим методом асимптотичну ефективність оцінок лише в тому разі, коли матриця å не є діагональною, тобто коли залишки, які входять в різні рівняння моделі, корелюють між собою,

Щоб застосувати Трикроковий метод найменших квадратів на практиці необхідне виконання таких вимог:

1) усі тотожності, які входять в систему рівнянь, треба виключити, приступаючи до знаходження оцінок параметрів;

2) кожне неідентифіковане рівняння також треба виключити з системи;

3) якщо система рівнянь, що залишилась, має точно ідентифіковані і надідентифіковані рівняння, то Трикроковий метод оцінки доцільно застосовувати до кожної з цих груп;

4) для групи надідентифікованих рівнянь оцінки параметрів знаходяться на основі співвідношення (11.53), взявши значення r таким, що дорівнює числу надідентифікованих рівнянь;

5) якщо група надідентифікованих рівнянь має тільки одне рівняння, то трикроковий метод перетворюється на двокроковий;

6) якщо матриця коваріацій å для структурних залишків блочно-діагональна, то вся процедура оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів може бути застосована окремо до кожної групи рівнянь, які відповідають одному блоку.

Оператор оцінювання на основі трикрокового методу найменших квадратів матиме вигляд:

(7.30)

де d = — оцінки параметрів моделі; Z_s = (Y_sX_s), (s = 1, r) – Z _s — змінні моделі, які знаходяться в правій частині s- го рівняння; S ² _rj — дисперсії залишків для кожного рівняння, які е наближеною оцінкою s² _rj.

* Тут і далі «вектор» означає «матриця-вектор», тобто матриця-рядок або матриця-стовпець.

Дата добавления: 2014-01-11