Двовимірна функція розподілу ймовірностей визначення двовимірного випадкового вектора

Подальшим узагальненням моделей випадкових функцій при проведенні вимірювальних експериментів є використання випадкових векторів, як упорядкованої послідовності випадкових величин. Розглянемо двовимірний випадковий вектор

, (2.44)

компонентами якого є одновимірні дійсні випадкові величини .

Двовимірна функція розподілу ймовірностей, яка визначається за формулою

(2.45)

повністю визначає двовимірний випадковий вектор (2.44).

На основі використання функції (2.45) визначаються:

· сумісні початкові моменти порядку

, (2.46)

де двовимірна щільність розподілу ймовірностей випадкового вектора (2.44) визначається за формулою

; (2.47)

· сумісні центральні моменти порядку

, (2.48)

де і відповідно математичні сподівання випадкових величин і .

Двовимірна характеристична функція випадкового вектора (2.44) визначається за формулою

.(2.49)

Широке коло задач вимірювань характеристик випадкового вектора (2.44) використовує сумісний (взаємний) центральний момент другого порядку випадкових величини і – сумісний кореляційний момент

, (2.50)

який характеризує взаємний статистичний у рамках кореляційної теорії лінійний взаємозв’язок випадкових величин і між собою.

Нормований сумісний центральний момент другого порядку

(2.51)

називається коефіцієнтом кореляції випадкових величин і .

У рамках кореляційної теорії в задачах вимірювань характеристик випадкових величин на основі обчислення сумісних початкових і центральних моментів другого порядку використовуються наступні коваріаційні і кореляційні матриці компонент і випадкового вектора (2.44):

· коваріаційна матриця

; (2.52)

· кореляційна матриця

, (2.53)

де елементи матриці обчислюються за формулою

; (2.54)

· нормована кореляційна матриця

. (2.55)

Функція однозначно визначає компоненти і випадкового вектора (2.44) на основі так званих маргінальних одновимірних функцій розподілу

(2.56)

і

. (2.57)

Визначення одновимірних маргінальних функцій розподілу ймовірностей і дає можливість повністю визначити відповідно випадкові величини і на основі обчислення характеристик (2.40)…(2.43).

Вимірювання двовимірної функції розподілу ймовірностей дає можливість однозначно визначати всі ніші характеристик двовимірного випадкового вектора і його компонент, як показано на рис.

Рис. Схема визначення (вимірювання) характеристик двовимірного випадкового вектора

Результати аналізу характеристик визначення двовимірного випадкового вектора

можна узагальнити на -вимірний випадковий вектор

. (2.58)

Для визначення характеристик (2.58) необхідно використання -вимірної функції розподілу ймовірностей

. (2.59)

Таким чином, -вимірна функції розподілу ймовірностей є оптимальною характеристикою повного у ймовірнісному сенсі визначення випадкового вектора (2.58), що обумовлює проведення вимірювального експерименту.

2.5.4. Багатовимірна (-вимірна) функція розподілу ймовірностей визначення випадкового процесу

Теорія і практика використання ІВС у різних предметних областях обумовлює значну роль випадкових інформаційних сигналів, як основних об’єктів дослідження.

По аналогії з означенням 2.1 випадкової величини наведемо наступне означення випадкового процесу, яке також відображає методологію вимірювань.

Означення 2.2. Двовимірний випадковий процес , , визначається як упорядкована по часу послідовність випадкових величин.

Випадковий процес є складним об’єктом для вимірювань його характеристик.

Спочатку більш детально зупинимось на структурі випадкового процесу , як вимірної функції двох аргументів шляхом використання фіксації значень одного з аргументів зі змінною другого аргументу. Такий підхід дає можливість більш ґрунтовно описати фізичний механізм процесу і використати його при побудові моделі сигналу.

1. Спочатку розглянемо дискретну гратку фіксованих значень часу

. (2.60)

Для (2.60) маємо послідовність випадкових величин

, (2.61)

яку можна розглядати як -вимірний випадковий вектор.

Така послідовність повністю у ймовірнісному сенсі визначається -вимірною функцією розподілу ймовірностей

. (2.62)

Якщо задавати різні значення

, (2.63)

то отримуємо послідовність скінченновимірних (-вимірних) функцій розподілу ймовірностей випадкового процесу .

З теорії випадкових процесів відомо [], що випадковий процес задається послідовністю скінченновимірних функцій розподілу. Послідовність (2.62) не може бути послідовністю довільних функцій. Функції (2.62) задовольняють двом умовам:

· умові узгодженості

(2.64)

яка вимагає, щоб маргінальні розподіли, тобто вимірні функції розподілу, були узгоджені з основними, входили в (2.62), як частинні випадки, на практиці така узгодженість цілком природна, так для випадку гауссових розподілів всі маргінальні розподіли гауссової;

· умові симетрії

(2.65)

де – люба перестановка індексів 1,…, n, тобто повинна бути інваріантною відносно любої одночасної перестановки пар аргументів і .

Для методології вимірювань дуже важливою є відповідь на наступне питання: чи є випадковий процес вимірною функцією для неперервного t?

Іншими словами, чи можна задати послідовністю скінченновимірних функцій розподілу випадковий процес для неперервного аргумента ? Відповідь є негативною. Зупинимось на цьому питанні більш детальніше.

В теорії випадкових процесів при вирішенні задач визначення ймовірності, які обумовлюють задання процесу з неперервним часом, вводиться клас сепарабельних випадкових процесів як клас двовимірних функцій. В теорії випадкових процесів обґрунтовується множина сепарабельності визначення процесу, на якій задається послідовність скінченновимірних функцій розподілу . В прикладних науках, як правило, при дослідженнях випадкових процесів термін «сепарабельність» не вживається. Це в певній мірі оправдано тим фактом, що практично всі досліджувані випадкові процеси задовольняють умові сепарабельності, як задані на компактній множині визначення. Але для обґрунтування методології вимірювань необхідно виконання наступного

Твердження 2.1. В теорії вимірювань при обґрунтуванні математичних моделей, розробці алгоритмів та програмного забезпечення в задачах вимірювань характеристик (параметрів) досліджуваних випадкових сигналів використовується клас сепарабельних вимірних випадкових процесів (функцій).

Для заданої -вимірної функції розподілу визначається:

· -вимірна щільність розподілу ймовірностей

; (2.66)

· -вимірна характеристична функція

; (2.67)

· початкові моменти -того порядку

(2.68)

де ;

· центральні моменти -того порядку

. (2.69)

Відмітимо, що кожна з функцій і повністю у ймовірнісному сенсі визначає сепарабельний випадковий процес при заданні однієї функції дві інші визначаються однозначно. Початкові і центральні моменти процеси не повністю визначаються процес , але при дослідженнях процесу відіграють важливу роль.

2.5.5. Основні види випадкових сигналів в задачах вимірювання їх характеристик

Класифікація випадкових сигналів в певній мірі співпадає з загальною класифікацією процесів в теорії випадкових процесів [], але має свою специфіку. Ця специфікація полягає в тому, що на сьогодні в ІВС як апаратно-програмному комплексі використовується інформаційне забезпечення вимірювань характеристик для обмеженого числа видів випадкових процесів.

Але тенденція більш широкого використання випадкових процесів описується неспадною функцією часу.

Розглянемо цю проблематику більш детально.

Дата добавления: 2014-01-11