Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейных уравнений

ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ

 

Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найти их методом Крамера или Гаусса. Казалось бы, никаких проблем при этом не остается. Однако это не так.

При моделировании технологических процессов ряд параметров, как правило, определяется приближенно, с некоторой погрешностью (например, как результат некоторых измерений). Поэтому естественным требованием к математической модели является устойчивость ее решений по отношению к «малым» погрешностям входных параметров. Когда модель представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, такая неустойчивость возникает в случае, так называемых плохо обусловленных систем. Поясним это на одном примере.

Предположим, наша задача свелась к решению следующей системы двух линейных алгебраических уравнений:

.

Решим ее методом Крамера:

, ,

, , .

Таким образом, эта система имеет единственное решение .

Предположим теперь, что коэффициенты этого уравнения определяются с незначительной погрешностью и вместо 111 в правой части 2-го уравнения мы получили 110,1, т.е. ошибка составляет менее1%. Однако полученное при этом решение отличается в 10 раз! Ясно, что в такой ситуации говорить о том, что математическая модель адекватно отражает действительность, не приходится. В таких случаях говорят, что задача некорректна, и применяют специальные (регулирующие) методы для ее решения, привлекая дополнительную информацию об изучаемом процессе, не отраженную в математической модели (системе линейных алгебраических уравнений).

В заключение, в качестве примера применения системы линейных алгебраических уравнений для решения практически важных задач приведем задачу интерференции скважин в пласте.

Задача интерференции скважин в пласте заключается в определении дебитов , батарей скважин по известному давлению на контуре питания и забойным давлениям , на батареях (рис.3).

Эта задача может быть сведена к системе линейных алгебраических уравнений. В случае интерференции двух прямолинейных батарей соответствующая система имеет вид

где - проницаемость и мощность пласта;

- вязкость нефти;

- число скважин в батареях;

- радиусы скважин;

- расстояния между скважинами в батареях;

- расстояния между батареями;

- расстояние от батарей до контура питания.

Например, при следующих значениях параметров

м; м;

=5000 м; м;

мкм2; м; с Па с;

; МПа; МПа

получим следующую систему уравнений:

Ее решение, полученное методом Крамера:

; .

Таким образом, по заданным депрессиям (разность между контурным давлением и забойным на батареях) с помощью системы линейных алгебраических уравнений можно рассчитать дебиты батарей скважин, что является важной задачей проекта разработки месторождений.

Однако в случае, когда расстояние между батареями и скважинами в батареях мало по сравнению с расстоянием до контура питания , получаемые системы являются плохо обусловленными, что показывает следующий пример.

Пусть значения параметров такие же, как и в предыдущем примере, кроме =200 м. Тогда для дебитов получим следующие значения: и .

При изменении депрессий в пределах погрешности манометра (порядка 1%) МПа, МПа соответствующие дебиты равны =3890м3/сут и м3/сут.

Таким образом, малая ошибка в одном коэффициенте привела к большим ошибкам в определении и :

,

.

Данный пример показывает, что рассматриваемая расчетная схема в ряде случаев может оказаться некорректной.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Методом Гаусса | Скалярные и векторные величины
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 313; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.