КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Угол между плоскостями
Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости и .
Коэффициенты и уравнения плоскости являются проекциями нормального вектора к этой плоскости. Следовательно, один из смежных двугранных углов между плоскостями и равен углу между нормальными к этим плоскостям векторами: и (рис.23).
Тогда . (37) По формуле (37) определяется один из смежных углов между данными плоскостями. Следствие 1. Если плоскости и параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны. Тогда . (38) Условия (38) называются условиями параллельности двух плоскостей. Следствие 2. Если плоскости и перпендикулярны, то в (37) угол . Тогда . Следовательно, и . (39) Условие (39) называется условием перпендикулярности двух плоскостей. ПРИМЕР 19.1. Определить, при каком значении плоскость перпендикулярна плоскости . Решение. Векторы являются нормальныи векторами к данным плоскостям.тогда согласно условию (39) плоскости взаимно перпендикулярны, если . Ответ: 6. ПРИМЕР 19.2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно плоскости . Решение. Искомая плоскость проходит через заданную точку , тогда ее уравнение, согласно формуле (34), запишется в виде . Искомая плоскость параллельна заданной плоскости. Тогда из условия параллельности двух плоскостей (38) получим . Отсюда . Подставляя найденные коэффициенты в предыдущее уравнение, найдем уравнение искомой плоскости .
20. Прямая в пространстве . Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой.
Положение прямой в пространстве может быть определено заданием: 1) любых двух точек; 2) ее точки и вектора , параллельного этой прямой; 3) 0 Поставим задачу определения уравнения прямой в каждом из этих случаев. Пусть в пространстве дана точка и вектор . Тогда через точку параллельно вектору проходит единственная прямая . Для определения ее уравнения выберем в произвольную точку и построим векторы .
Согласно определению суммы векторов получим (рис.24). Пусть точка , тогда векторы и коллинеарны. Следовательно, , где - параметр, принимающий любое значение из в зависимости от положения точки на прямой . Тогда для точки имеем , где . (40) Если точка , то векторы и не коллинеарны. Следовательно, для таких точек равенство (40) не выполняется ни при каких . Итак, уравнение (40) является векторным уравнением прямой, а вектор называется направляющим вектором прямой. Воспользовавшись координатами векторов из (40), получим Û (41) Уравнения (41) называются параметрическими уравнениями прямой с параметром в пространстве . Исключая параметр из уравнений (41), найдем, что . (42) Уравнения (42) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве . Замечание. В уравнении (42) условились считать, что числа и могут принимать любые значения, кроме одновременного равенства и нулю. В частности, если уравнение (423) имеет вид , о это уравнение есть уравнение прямой, перпендикулярной оси . Действительно, при направляющий вектор перпендикулярен оси . Следовательно, и параллельная вектору прямая перпендикулярна этой оси. Если же уравнение (42) имеет вид ,то это уравнение является уравнением прямой, перпендикулярной плоскости. ПРИМЕР 20.1. Определить, лежит ли точка на прямой , проходящей через точку параллельно вектору . Решение. Найдем уравнения прямой в канонической форме. Полагая , получим . Подставляя в эти уравнения координаты точки , найдем . Следовательно, точка принадлежит прямой .
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 577; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |