Относительно различных осей

Значения моментов инерции некоторых простейших фигур

Рассмотрим определение моментов инерции для прямоугольника относительно различных координатных осей по рисунок 37.

у₁ у

b

dy

у

C H

х

a

В

x₁

Рисунок 37. К определению моментов инерции фигуры относительно собственных

центральных осей ху и параллельно смещенных осей х₁у₁

Осевые моменты инерции прямоугольника шириной В и высотой Н определим вначале относительно его собственных центральных осей х и у.

Выделим из прямоугольника элементарную площадку dA (на рисунке 37 она заштрихована) шириной В и толщиной dy на расстоянии у от центральной оси х. Момент инерции всего прямоугольника определяется суммированием моментов инерции элементарных площадок по всей площади прямоугольника относительно оси х:

Таким образом, момент инерции прямоугольника относительно собственной оси х:

. (54)

Аналогично относительно собственной центральной оси у:

(55)

Осевые моменты инерции относительно параллельно смещенных осей х₁ и у₁:

Полярный момент инерции прямоугольника в системе осей х и у:

Центробежный момент инерции прямоугольника в системе осей х и у равен нулю, поскольку эти оси совпадают с осями симметрии прямоугольника.

Моменты инерции площади круга определяются по методике, подобной изложенной выше. Приведем конечные формулы для определения моментов инерции круга диаметром d.

Полярный момент инерции круга

(56)

Учитывая, что то, в силу симметрии круга относительно любой центральной оси, осевые моменты инерции одинаковы:

(57)

Осевые моменты инерции круга относительно осей х₁ и у₁:

Полярный момент инерции круга в системе осей х₁ и у₁:

Полярный и осевые моменты инерции кругового кольца можно определить как разности между соответствующими моментами инерции круга с наружным диаметром d и с внутренним диаметром d_о. Обозначив соотношение диаметров с = d_о/ d, в центральных осях х и у получим формулу для полярного момента инерции:

. (58)

Осевые моменты инерции кольца в собственных центральных осях х и у:

. (59)

7.6. Главные оси и главные моменты инерции площадей плоских фигур.

Рассмотрим вначале, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Пусть известны моменты инерции площади А некоторой фигуры относительно центральных осей х и у:

.

Установим связь между моментами инерции и аналогичными характеристиками для осей х₁ и у_1, повёрнутых относительно осей х и у на угол против часовой стрелки (это направление отсчета углов примем положительным), см. рисунок 38.

Выразим координаты элементарной площадки в осях х₁ и у₁ через координаты осей х и у:

у₁ у

Дата добавления: 2014-01-11