Властивості визначеного інтеграла

І. Якщо , то

ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто

ІІІ. Якщо та інтегровні на [ a; b ], то

IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто

V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю

VI. Якщо — інтегровна в будь-якому із проміжків: [ a; b ], [ a; c ], [ с; b ], то

VII. Якщо і інтегровна для то

VIII. Якщо , — інтегровні та для то

IX. Якщо f (x) — інтегровна та для то

Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.

Х. Теорема 7 (про середнє).

Якщо функція — неперервна для то знайдеться така точка що:

(7.9)

Геометричний зміст теореми про середнє полягає в тому, що існує прямокутник із сторонами та b – a, який рівновеликий криволінійній трапеції аАВв за умови, що функція та неперервна на проміжку [ a; b ] (рис. 7.6).

Рис. 7.6.

Поняття визначеного інтеграла
зі змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона—Лейбніца

Розглянемо інтеграл , який буде функцією від верхньої межі інтегрування. Змінній х надамо приросту , що зумовить приріст функції.

(рис. 7.7)

Рис. 7.7

Теорема 8. Якщо функція f (x) неперервна для будь-якого то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування, тобто

(7.10)

Наслідки:

1. Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею від функції є одна із первісних для .

2. Будь-яка неперервна функція на проміжку має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею, тобто

Приклад. Знайти .

l Функція — неперервна на проміжку тому

Теорема 9. (Ньютона—Лейбніца). Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто

де (7.11)

Позначимо дію подвійної підстановки так: тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:

(7.12)

Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну підстановку.

Приклад.

Дата добавления: 2014-01-11