Дан квадрат

Рассматриваются повороты квадрата против часовой стрелки, переводящие вершины в вершины: Æ,p/₂,p,³/₂p,2p,⁵/₂p и т.д.

Все повороты задают всего четыре отображения вершин в себя, соответствующие первым четырем поворотам.

Пусть эти отображения – a, b, g, d.

Таким образом, получаем алгебру с основным множеством {a₁,a₂,a₃,a₄} и четырьмя унарными операциями a, b,g,d.

Операции зададим таблицей:

	a	b	g	d
a1	a1	a2	a3	a4
a2	a2	a3	a4	a1
a3	a3	a4		a2
a4	a4	a1	a2	a3

Операция a, отображающая любой элемент в себя называется тождественной.

Она соответствует нулевому повороту.

Подалгебр в этой алгебре нет.

Продолжение примера 4:

Множество Ơ={a,b,gd} отображений вместе с бинарной операцией композиции отображений образует алгебру

Ơ= < Ơ,° >

Операция композиции задается таблицей Кэли:

	a	b	g	d
a	a	b	g	d
g=180^° b	b	g	d	a
a=Æ^° g	g	d	a	b
d	d	a	b	g

Множество {a,g}, т.е. повороты на углы Æ^° и 180^°(Æ и p), образует подалгебру алгебры Ơ.

Алгебра Ơ= < Ơ,^°> является циклической группой:

g=b², d=b³, a=b⁴.

Единицей служит тождественное отображение a;

Обратным к данному повороту служит поворот, дополняющий первый до 2p.

b^-1=d; g^-1=g; d^-1=b.

Пример 5:

Дано мн-во S_M всех взаимно-однозначных преобразований конечного мн-ва М в себя.

Такие преобразования называют подстановками.

Алгебра представляет собой группу.

Эта группа не является абелевой.

Поскольку число подстановок равно числу перестановок в списке эл-ов М,

то порядок !

Пусть М={1, 2, 3, 4};

Тогда

В любой конечной группе ее операция (умножение) может быть задана таблицей Кэли. Для группы эта таблица имеет важную особенность: любой ее столбец содержит все элементы группы.

В группе при любом числе умножений не теряется информация об исходном элементе:

если известно на что умножали, всегда можно узнать, что умножали.

Для полугруппы это верно не всегда.

Дата добавления: 2014-01-11