Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Сходящихся – расходящихся рядов




Несколько замечаний о перестановочности членов

 

1) Если ряд сходится абсолютно, то сходится абсолютно и ряд, полученный любой перестановкой членов исходного ряда.

Т°. Пусть дан ряд (1) с неотрицательными членами, а ряд (2) получается из него перестановкой его членов. Тогда, если ряд (1) сходится, то ряд (2) также сходится и имеет ту же сумму.

Пусть ряд (1) сходится и его сумма равна S. Рассмотрим частичную умму ряда (2) . Каждое из слагаемых этой суммы входит в ряд (1). Возьмем в ряде (1) столь большое число m первых членов, чтобы среди них оказались все слагаемые из , и составим из них m -ю частичную сумму ряда (1): . Так как все слагаемые входят в , а остальные слагаемые (если такие есть) неотрицательны, то . Но частичные суммы ряда (1), ввиду не отрицательности членов ряда, не превосходят его суммы : и, следовательно, . Так как это неравенство для любого n, то все частичные суммы ряда (2) ограничены.

Поэтому ряд (2) сходится и для его суммы Т справедливо .

Проводя аналогичные рассуждения не для рядов (1) и (2), а для рядов (2) и (1) получим, что . Из двух последних неравенств следует, что

2) Члены условно сходящегося ряда (не абсолютно) можно переставлять так, что сумма преобразованного ряда будет равна любому, наперёд заданному элементу числовой прямой.

Изложить идею доказательства и

привести конкретный пример, например с рядом Лейбница

3) Переставить члены условно сходящегося ряда так, чтобы получился ряд сходящийся абсолютно, нельзя.

4) Если знакопостоянный ряд сходится, то он сходится абсолютно и к сумме того же знака.

5) Если ряд, у которого число членов определенного знака конечно, сходится, то он сходится абсолютно.

6) Если у ряда число положительных и отрицательных слагаемых бесконечно и он сходится абсолютно, то ряды из и сходятся.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 351; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.