Примеры вычисления производных от неявных функций

1⁰. Задано равенство: ln(x ² + y ²) = arctg. Определяет ли это равенство функцию , и, если – да, то найти .

Определим F (x, y) = ln (x ² + y ²) – arctg= 0. Для нее якобиан J = существует везде кроме (0, 0), и точек, в которых и равен:

J = = = –= ¹ 0.

Дифференцируем функцию F (x, y) по x, считая y функцией .

= = 0;

Тогда: Þ (существует если x ¹ 2 y).

Если уравнение ещё раз продифференцировать по x, то получим:

Þ Þ

Þ , если .

2⁰. Исследовать на экстремум функцию y = y (x), заданную уравнением:

x ³ + y ³ – 3 xy = 0.

Дифференцируем равенство по x, считая что, при этом y = y(x): . – необходимое условие экстремума Þ .

а. x = 0; y = 0. б. x = ; y = .

В точке (0,0) j = = 3 y ² – 3 x = 0 и, поэтому мы не можем утверждать, что исходное уравнение определяет y как функцию от x.

В точке x = , y = найдем .

Þ Þ дифференцируем Þ

.

В стационарной точке , поэтому Þ = .

Значит, в точке (,) – функция y = y (x) имеет максимум.

Дата добавления: 2014-01-11