КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теорема непрерывности композиции непрерывных функций
Если функция непрерывна в т. , а функция непрерывна в т. то сложная функция непрерывна в т. . К условиям теоремы 2 здесь добавляется непрерывность функции в т. . Учитывая это и применяя теорему 2 имеем Доказанная теорема, наряду с теоремами 1 и 2 (см. пред. лекцию) систематически используются при вычислении предела непрерывных ункций.
Приращение аргумента и функции в точке, равносильное определение непрерывности.
М
- приращение аргумента в т. - приращение функции в т. - приращение значения функции. Пусть функция непрерывна в т. , тогда Таким образом можно дать определение непрерывности функции в т. в следующей равносильной форме: Определение Функция называется непрерывной в т. если бесконечно малое приращение аргумента в т. вызывает бесконечно малое приращение функции в этой точке.
Непрерывность элементарных функций.
Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны в области их определения. Сделаем на примере . Пусть х – произвольная фиксированная точка числовой оси. Рассмотрим приращение функции в т. х, т.е. При этом использовано неравенство , для Ниже будет показано, что при , что можно записать также в виде Это последнее неравенство не изменится при замене на . Следовательно при будет . Это последнее неравенство очевидно верно и при , т.к. , а . Итак получено: , что можно записать также в виде . Тогда (использована теорема о двух легавых) , т.е. функция непрерывна в т. х.
А т.к. точка выбрана произвольно, то заключаем, что функция непрерывна на всей числовой оси. Элементарной функцией называется всякая функция составленная из основных элементарных функция при помощи конечного числа арифметических действий и композиций.
Так как основные элементарные функции непрерывны в области их определений, а сложение, вычитание, умножение, и деление и композиция непрерывных функций приводят к непрерывным функциям, то заключаем, что всякая элементарная функция непрерывна в области определения.
Два замечательных предела.
Покажем, что (1) Где х – измеряется в радианах. Рассмотрим окружность радиуса R=1 и центральный угол
С другой стороны площадь кругового сектора ОАВ меньше площади . или . Поэтому для т.к. для или (2) Эти последние неравенства не изменятся при замене х на –х, т.е. они будут справедливы в проколотой - окрестности т. х=0. Так как функция непрерывна в т. х=0, т.е. , то из неравенств (2) с учетом теоремы о lim двух легавых вытекает формула (1).
Примеры: 1) 2)
Т.е. формула (2) полностью доказана.
Полагая в формуле 2 (если ) и применяя теорему о замене переменной в пределе получим другое представление 2 замечательного предела: (2’) Следствия: 1) (3) - третий замечательный предел. Запишем второй замечательный предел по формуле (2’) в виде. и прологарифмируем его по основанию e: здесь так как функция ln(u) непрерывна в точке u=e, то переставляя местами знак предела и знак непрерывной функции получим: или 2) (4) здесь в частности при (4’)
Положим Откуда ; при т.к. показательная функция непрерывна в точке x= 0. Пользуясь теоремой о замене переменной в пределе и формулой (3) имеем Полагая в формуле (4) a = e приходим к формуле (4’)
3) где Положим (при в силу непрерывности экспоненциальной функции) ; Имеем: Применяя теорему о замене переменной в пределе и формулу (4’).
Показательно-степенная функция. Для вычисления пределов функций вида следует пользоваться формулой: (6) При этом считаем, что и существует. Достаточно применить основное логарифмическое тождество и непрерывность экспоненциальной функции.
Часто встречается случай когда при Покажем, что формула (6) принимает вид: (7) (при ) Имеем: применяя формулу (3) и . Особенно часто формула (7) применяется когда , т.е. для раскрытия неопределенности .
Примеры применения формул. 1) 2)
Сравнение Б.М.Ф. Пусть , - б.м. при Рассмотрим:Если , то говорят что б.м. и - одинакового порядка малости, в частности, если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми, что записывается в виде (в окрестности ). Например при : 1) 2) 3) в силу формулы (3) 4) (в частности 5) (в частности Если , то говорят что является б.м. высшего порядка малости, чем или, что является б.м. низшего порядка малости, чем . Это обстоятельство записывается в виде: есть “о малое” от . Например: при .
Теоремы об эквивалентных б.м. Теорема 1 Пусть , , - б.м. при причем , - одного порядка; а тогда . т.е. .
Теорема 2 Для того, чтобы две б.м. при одном и том же стремлении x были эквивалентны необходимо и достаточно, чтобы их разность была б.м. более высокого порядка, чем каждая из них.
Обратно , т.е. Применяя теорему 1 видим, что соотношение так же имеет место.
Теорема 3 Предел отношения двух б.м. не изменится, если одну из них или обе заменить на эквивалентную ей б.м. Пусть , а при имеем
Теорема 4 (принцип отбрасывания б.м. высшего порядка)
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1643; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |