Уравнения Эйлера и уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости

Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости

При течении газов, особенно при больших скоростях, их плотность может заметно, а то и значительно, меняться во времени и в пространстве. Ясно, что объем втекающей жидкости может не быть равным объему вытекающей жидкости через поверхность кубика, изображенного на рис. 3.11. Если такого равенства нет, то масса газа внутри кубика (а с ней и плотность) будут со временем меняться. Уравнение (3.24) в этом случае становится несправедливым. Однако и здесь можно записать уравнение неразрывности, основная идея вывода которого базируется на балансе массы газа, составляющего физическую суть равенства (3.1). Поток массы газа через площадку d S будет равен. Тогда полный поток массы газа через боковую поверхность элемента объема dxdydz, аналогично (3.27), равен

(3.32)

где - новое векторное поле. Если этот поток положительный, то масса внутри элемента будет убывать за счет уменьшения во времени плотности. Поэтому, записывая условие баланса массы в виде

(3.33)

мы получаем (после сокращения на dxdydz) одно из фундаментальных уравнений гидродинамики - уравнение неразрывности сжимаемой жидкости:

(3.34)

Следует отметить, что при =const это уравнение переходит в (3.24).

Рис. 3.11.

В электродинамике это уравнение является также фундаментальным. В самом деле, если речь идет о движущихся зарядах, объемная плотность которых равна, то уравнение (3.34) является математическим выражением универсального закона сохранения заряда.

Динамика сжимаемой жидкости базируется также на 2-м законе Ньютона, записанном для единицы массы жидкости. Равнодействующая сил давления и внешних сил создает ускорение единицы массы, поэтому

(3.35)

где F - внешняя сила, действующая на единицу массы. Для определения 5-ти неизвестных величин (v_x, v_y, v_z, p и) необходимо дополнить (3.35) материальным уравнением, связывающим плотность и давление:

(3.36)

Система (3.34) - (3.36) носит название уравнений Эйлера для сжимаемой жидкости. Огромное количество задач газодинамики решается на основе анализа этих уравнений.
Воспользуемся уравнением (3.35) и получим уравнение Бернулли. Для этого видоизменим правую часть (3.35), введя вспомогательную функцию (2.27), и учтем (2.29). Тогда (3.35) примет вид

(3.37)

При стационарном течении. В направлении оси трубки тока (вдоль криволинейной координаты) можно записать

(3.38)

Поскольку потенциальная энергия единицы массы, а, то, по аналогии с (3.13), перепишем (3.38) в виде:

(3.39)

Интегрируя (3.39) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости

(3.40)

Здесь h - положение по вертикали сечения трубки тока с координатой. Очевидно, что. Постоянная в (3.40) определяется заданием скорости v₁ и высоты h₁ в фиксированном сечении с координатой. С учетом этого, уравнение (3.40) обретает вид

(3.41)

Для практического использования уравнения Бернулли необходимо знание материальной связи между p и. Для случая несжимаемой жидкости (= const) уравнение (3.41) переходит в (3.15).
Если речь идет о потоке газа, то при его быстром сжатии (увеличение плотности) газ будет нагреваться. Из-за плохой теплопроводности газа тепло не будет успевать уходить из нагретых областей. Поэтому для установления материальной связи воспользуемся адиабатическим приближением:

(3.42)

где показатель адиабаты. Такая связь получается из первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа (2.32) при условии отсутствия теплообмена между нагретой областью и окружающей средой. Давление в (3.42) возрастает с плотностью быстрее, чем при изотермическом процессе, так как. В курсе молекулярной физики будет показано. что (C_p и C_V - теплоемкости при постоянных давлении и объеме соответственно). Для воздуха, состоящего главным образом из двухатомных газов, = 1,4.
Если подставить (3.42) в (3.41) и выполнить простейшее интегрирование, то можно записать выражение для распределения давления вдоль трубки тока:

(3.43)

Не умаляя общности, будем считать трубку тока горизонтальной (h=h₁). Положим далее скорости течения такими, что

(3.44)

где - параметр, имеющий размерность скорости. Как мы увидим несколько позднее, скорость звука в газе

(3.45)

При нормальных условиях для атмосферы с=336 м/с. В этом случае (3.43) можно разложить в ряд:

(3.46)

Если пренебречь квадратичным членом в (3.46), то распределение давлений соответствует течению несжимаемой жидкости с плотностью =const. Квадратичный член начинает давать вклад в распределение давлений при скоростях потока, соизмеримых со скоростью звука с₁.
Подставив (3.42) в (3.43), получаем распределение плотности вдоль трубки тока:

(3.47)

Для горизонтальной трубки тока и при условии (3.44) распределение плотности (3.47) имеет вид:

(3.48)

Таким образом, изменение плотности газа необходимо принимать в учет только при скоростях течения, сопоставимых по порядку величины со скоростью звука, определяемой, как следует из (3.45), давлением и плотностью в этом потоке.
Если же скорость течения, то сжимаемостью газа можно пренебречь и оперировать с ним, как и с жидкостью.

Сплошные тела. Абсолютно упругое тело. Виды деформаций.

До сих пор рассматривалась механика недеформируемого твердого тела. Что такое деформация?

Деформация – процесс силового воздействия, в результате которого изменяется форма тел под действием приложенных к ним внешних сил.

Известно, что все тела состоят из молекул и атомов, между которыми существуют силы взаимодействия, поэтому и формируемое тело можно рассматривать как систему материальных точек, расстояния между которыми изменяются при их деформации.

Но во многих случаях более целесообразно рассматривать деформируемое тело, как сплошное. Так обычно поступают при всех инженерных расчетах (например: прогиб балки, кручение осей и др.) Поэтому в дальнейшем все виды деформаций мы будем рассматривать с макроскопической точки зрения, а тела представлять как сплошные.

Твердые тела сопротивляются как изменению объема, так и формы, т.е. любому деформированию. Действие силы оказывает на тело давление.

Давления, возникающие в твердом теле при его деформировании, называются упругими напряжениями.

Сила упругих напряжений в твердом теле может иметь любое направление по отношению к площадке, на которую она давит.

Все деформации делятся на виды:

а)

	Деформации
Однородная		Неоднородная
Деформация, при которой все точки тела, лежащие на одной вертикали, не смещаются с нее, а расстояния между слоями остаются во всех точках одинаковыми (растяжение, сжатие)		(изгиб, кручение)

б)

	Деформации
Упругая		Неупругая (пластичная)
Когда после снятия нагрузки форма тела восстанавливается (деформация исчезает)

Тела, в которых после прекращения действия внешней силы деформация полностью исчезает и восстанавливается первоначальная форма тела, называются абсолютно упругими телами.

Тела, не восстанавливающие свою первоначальную форму после снятия действия сил, называются неупругими (пластичными).

В природе нет абсолютно упругих и абсолютно неупругих тел. При изменении условий (температуры, нагрузки) упругое тело может перейти в состояние пластичное и наоборот.

Пример:	Резина:	Пластичная при нормальных температурах
Упругая при низких температурах

Построение теории процессов деформации – задача молекулярной и атомной физики.

Примерное объяснение деформации может быть дано следующее: между атомами и молекулами внутри твердого тела существуют силы притяжения и отталкивания, обеспечивающие их взаимодействие друг с другом и удерживающие их друг около друга. Внешние силы смещают атомы со своих мест. Если сдвиг внешней силы невелик, то после прекращения внешнего действия частицы вернутся к прежнему взаимному положению, это упругая деформация. Если атомы меняют соседей и взаимодействуют с другими элементами решетки (структуры) после прекращения воздействия, то это пластичная деформация.

II. Типы деформаций. Основные характеристики деформаций.

Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою форму: удлиняются, изгибаются и т.д.

а) растяжение (сжатие)

Силы. Действие этих сил равномерно распределено по всему сечению. Длина стержня ℓ получит положительное (при растяжении), либо отрицательное (при сжатии) приращение Dℓ, т.е. в общем случае длина определяется формулой: L = ℓ ± Dℓ

Величина, численно равная отношению приращения размера тела, к начальному размеру, называется относительной деформацией.

Относительная деформация сжатия (-) и растяжения (+), (1)

где ε – величина безразмерная.

Из закона сохранения массы следует, что при растяжении или сжатии должна меняться не только длина тела, но и его поперечный размер. Изменение поперечных размеров тела при его растяжении или сжатии характеризуется относительным поперечным растяжением или сжатием.

Отношения относительной поперечной деформации ε_α к его относительной продольной деформации ε называется коэффициентом Пуассона

(2)

μ – величина табличная. Для металлов μ ~ 0,25, для материалов типа резины μ ~ 0,5.

μ < 0,5 – всегда.

б) сдвиг

Деформация сдвига может быть представлена в виде деформаций растяжения вдоль диагонали АВ и сжатия вдоль диагонали СД. При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на угол φ. Тогда: , если φ мал, то φ ≈ γ γ – относительный сдвиг.

в) кручение

Верхнее сечение закреплено, к нижнему приложена пара сил и нижнее основание поворачивается по отношению к верхнему на угол φ. Отношение угла закручивания φ к длине стержня L называется относительной деформацией кручения. (3)

г) изгиб

Самостоятельно, при выполнении лабораторной работы.

III. Напряжение. Связь между деформацией и напряжением. Закон Гука.

Пусть к телу приложена внешняя сила. При этом нарушается равновесие внутренних сил. В каждом сечении появляются отличные от нуля результирующие внутренние силы, направленные против внешних сил. При установившейся деформации величина внутренних упругих сил может быть измерена величиной внешних сил, приложенных к телу, т.е.

Внешняя сила, действующая на единицу площади поверхности тела, называется усилием (Р).

Упругая сила (внутренние силы), действующая на единицу площади сечения, проведенного внутри тела, называется напряжением σ:

(4)

Английский физик Р. Гук в 1675г. экспериментально установил связь между ε и σ:

, (5)

где k – коэффициент упругости.

Закон Гука

Напряжения, возникающие в деформированном теле, прямо пропорциональны относительной деформации.

– модуль упругости (модуль Юнга).

Е – зависит только от материала и постоянен для данного вещества.

Физический смысл Е: модуль Юнга численно равен нагрузке, при которой длина образца с поперечным сечением, равным единицы, возрастает вдвое (такие нагрузки выдерживает только каучук).

Закон Гука справедлив только при упругих деформациях.

– закон Гука для деформации растяжения.

Раздел II. Основы молекулярной физики и термодинамики.

Лекция 8. Уравнение состояния идеального газа и основное уравнение МКТ идеального газа.

Дата добавления: 2014-01-11