Аффинные преобразования в пространстве

Для пространства однородные координаты выглядят как: или, в более общем случае - , . Преобразование осуществляется аналогично плоскости по формуле , но матрица преобразования Т имеет размер 4х4 для однородных координат.

Аналогично плоскости любое аффинное преобразование в пространстве представимо как суперпозиция вращений, отражений, растяжений и переносов.

1. Вращение вокруг:

a) оси абсцисс на угол

б) оси ординат на угол

в) оси аппликат на угол

Определитель (детерминант) любой матрицы вращения равен 1. Т.к. вращения описываются умножением матриц, трехмерные вращения некоммутативны, т.е. порядок умножения влияет на конечный результат [ 8 ].

2. Растяжение (сжатие) или изменение масштаба

- коэффициенты изменения масштаба относительно осей x,y,z.

3. Отражение (зеркальное) относительно:

а) плоскости xy (изменяется знак координаты z)

б) плоскости yz

в) плоскости zx

4. Перенос (координаты x на k, y на m, z на n, (k m n) - вектор переноса)

Пример: требуется выполнить вращение вокруг произвольной оси. z

Решение: а) путем переноса сдвинуть ось вращения так, чтобы она L

проходила через начало координат;

б) поворот (возможно, неоднократный) оси вращения на

некоторый угол до совмещения с одной из координат-

ных осей;

в) поворот вокруг оси; y

г) перенос, обратный п. б).

x

Дата добавления: 2014-01-11