Т1. Если функция определена и интегрируема на сегменте , разлагается в тригонометрический ряд

,

который равномерно сходится, то это разложение единственно.

Док-во. Интегрируя почленно тригонометрический ряд (это можно делать в силу его равномерной сходимости (см. Лекцию № 21)), получим

.

Откуда находим, что . Рассмотрим интегралы вида:

а) ; б) ; в) .

В случае :

а) (как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования (см. Лекцию № 8))

.

б) (как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования (см. Лекцию № 8). Этот интеграл равен нулю и в случае по той же причине).

в) (как интеграл от четной функции по симметричному ин-тервалу интегрирования (см. Лекцию № 8))

.

В случае :

а) (как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования) .

в) (как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования) .

Умножим тригонометрический ряд на и проинтегрируем его на отрезке , получим:

(с учетом полученных результатов) . Отсюда находим, что .

Умножим тригонометрический ряд на и проинтегрируем его на отрезке , получим:

(с учетом полученных результатов). Отсюда находим, что .

Итак, коэффициенты тригонометрического ряда однозначно определяются формулами: ; ; . Следовательно, разложение функции в тригонометрический ряд единственно.

О3. Тригонометрический ряд с коэффициентами, определяемыми формулами: ; ; называется рядом Фурье.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию на сегменте .

Для того чтобы разложить в ряд Фурье функцию на сегменте , необходимо и достаточно вычислить коэффициенты этого ряда: ;

;

.

Следовательно, разложение в ряд Фурье функции имеет вид:

.

З1. Если функция периодична с периодом и разлагается в

ряд Фурье, то ее можно разложить на любом интервале длиной , например, , или .

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию на сегменте .

Вычислим коэффициенты ряда Фурье

;

;

.

Таким образом, .

Лекция № 24 “Ряд Фурье для четных и нечетных функций”

1. Сходимость ряда Фурье.

О4. Функция , определенная на всей числовой оси и периодическая с периодом , называется периодическим продолжением функции , если на сегменте .

Очевидно, что если на сегменте ряд Фурье сходится к функции , то он сходится на всей числовой оси к функции . В связи с этим в заключение лекции рассмотрим теорему о сумме ряда Фурье на всей числовой оси.

Т2. Пусть функция и ее производная непрерывны на сегменте или имеют на этом интервале конечное число точек разрыва первого рода. Тогда ряд Фурье функции сходится на сегменте , причем в каждой точке , в которой функция непрерывна сумма ряда равна ; в каждой точке разрыва первого рода функции сумма ряда будет равна , где

и ;

на концах сегмента сумма ряда будет равна . Если функция является периодическим продолжением функции , то аналогичные утверждения имеют место и для функции на всей чис-ловой оси.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическое продолжение функции на сегменте .

Так как , то ее периодическое продолжение имеет вид (Рис. 24):

Рис. 24. Периодическое продолжение функции на .

(как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования (см. Лекцию № 8)).

(как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования).

(как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования) . Таким образом, ряд Фурье имеет вид .

2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Пусть функция определена на сегменте и является четной функцией, т.е. , тогда в ее ряде Фурье все коэффициенты . Действительно (как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования (см. Лекцию № 8)). С учетом четности функции остальные коэффициенты вычисляются по формулам

и ,

где был использован факт, что определенный интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования равен. Для не-четной на сегменте функции () коэффициенты ряда Фурье определяются формулами и .

З1. Если функция четна, то в ее ряде Фурье содержатся только

косинусы; в этом случае говорят, что функция разложена в ряд Фурье по косинусам или четным образом. Если функция нечетна, то в ее ряде Фурье содержатся только синусы; в этом случае говорят, что функция разложена в ряд Фурье по синусам или нечетным образом.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию на сегменте .

Так как функция , то в ее ряде Фурье все коэффициенты . Найдем оставшиеся коэффициенты ряда Фурье:

;

(вычислить самостоятельно).

Итак, ряд Фурье имеет вид: .

3. Ряд Фурье для функций с периодом и .

Пусть функция определена на сегменте и удовлетворяет всем требованиям теоремы Фурье, тогда ее можно разложить в ряд Фурье. Если ввести новую переменную и рассмотреть функцию . Очевидно, что функция определена на сегменте и ее разложение в ряд Фурье имеет вид:

,

где коэффициенты ряда определяются формулами

; ; .

Если функция определена на произвольном сегменте , периодична с периодом и удовлетворяет условиям теоремы Фурье, то ее можно разложить в ряд Фурье, который имеет вид:

,

где коэффициенты ряда определяются формулами

; ; .

В заключение отметим, что ряд Фурье является частным случаем функционального ряда, который равномерно сходится к своей сумме. Следовательно, его можно почленно дифференцировать и интегрировать.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию на сегменте .

Воспользуемся разложением в ряд Фурье функции . Так как производная , то продифференцируем ряд Фурье для функции (см. Пример 1 этой Лекции) .

Дата добавления: 2014-01-11