Стійкість за Ляпуновим

Вводячи визначення стійкості за Лагранжем та Пуассоном, ми говорили про властивості однієї, окремо взятої траєкторії. Поняття стійкості за Ляпуновим характеризує траєкторію з погляду поведінки сусідніх траєкторій, що розташовуються в її околі.

Припустимо, що динамічна система при старті з початкової точки породжує траєкторію . Розглянемо іншу траєкторію тієї ж системи стартова точка якої близька до Якщо обидві траєкторії залишаються близькими в будь-який наступний момент часу, то траєкторія називається стійкої за Ляпуновим.

Говорячи більш формально, траєкторія стійка, якщо для кожного, як завгодно малого додатнього числа існує таке що для будь-якої точки старту з - околиці точки , тобто при маємо для всіх .

Більш сильна властивість – асимптотична стійкість. Траєкторія асимптотично стійка, якщо для кожного, як завгодно малого існує таке , що при маємо для всіх .

Коли говорять просто про стійку траєкторію, то в більшості випадків мають на увазі стійкість за Ляпуновим.

а б в

Рис. 2. Якісна ілюстрація стійкості за Лагранжем (а) (траєкторія залишається в замкнутій області, за Пуассоном (б) (траєкторія багаторазово повертається в - околицю стартової точки) і за Ляпуновим (в) (двох близькі на старті траєкторії залишаються близькими завжди)

Має місце теорема:

Теорема. Якщо неперіодична траєкторія стійка за Пуассоном та Ляпуновим, то вона квазіперіодична.

Дата добавления: 2014-01-11