Анализ устойчивости АСУ по корням характеристического уравнения

Поведение системы в переходном процессе описывается обобщенным дифференциальным уравнением вида:

(8.1)

Решение уравнения (8.1) складывается из двух составляющих:

(8.2),

где – свободная составляющая, которая зависит только от свойств системы, характеризует переход системы из одного установившегося состояния в другое и представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения;

– вынужденная составляющая, которая зависит от свойств системы и вида возмущающего воздействия, характеризует установившееся состояние и представляет собой частное решение дифференциального уравнения.

Так как об устойчивости системы управления судят после снятия возмущения, то . Таким образом, форма переходного процесса определяется внутренними свойствами АСУ, а именно коэффициентами а₀–a_n.

(8.3)

где С_i – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями;

Р_i – корни характеристического уравнения.

Таким образом, свободная составляющая состоит из нескольких парциальных составляющих решения, из которых можно выделить n₁ действительных корней и n₂ – комплексных.

(8.4)

Каждая парциальная составляющая вносит свой вклад в форму переходного процесса и влияет на устойчивость АСУ.

В целом можно выделить 7 типов корней:

1) действительный отрицательный корень;

2) действительный положительный корень;

3) чисто мнимые корни;

4) пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной действительной частью;

5) пара комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью;

6) один корень равен нулю;

7) два корня и более равны нулю.

Парциальные составляющие, соответствующие корням, перечисленным выше, приведены в таблице №1.

Таблица №1 Парциальные составляющие решения дифференциального уравнения

№	Вид корня	Уравнение парциальной составляющей	График парциальной составляющей	Вывод об устойчивости
			C1	АСУ устойчивая
		C2		АСУ неустойчивая
			T	АСУ находится на границе устойчивости
			-A2e^-α3τ A2e^-α3τ	АСУ устойчивая
			-A2e^+^α4^τ A3e^+^α4^τ	АСУ неустойчивая
	р9=0			АСУ нейтрально-устойчивая
	р10=р11=0			АСУ неустойчивая

Таким образом, для того чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели бы один и тот же знак, а действительные части корней характеристического уравнения были бы положительными. В случае если корни чисто мнимые, то система находится на границе устойчивости.

Дата добавления: 2014-01-11