Свойства объектов управления

С точки зрения сегодняшней теории управления (но эта точка зрения может измениться в связи с развитием синергетической теории управления) физическая природа объектов и протекающих в них процессов практически не влияет на проблему управления этими объектами. Главными являются другие свойства, которые не зависят от физической природы объекта. Они то и оказывают существенное влияние на задачи анализа и синтеза систем управления. При этом под анализом систем управления понимают задачи исследования уже созданных систем с точки зрения их эффективности управления, качества функционирования, устойчивости работы и др. А синтез систем управления заключается в выборе структуры системы и оценивания параметров алгоритмов, на основе которых функционируют все блоки системы управления, за исключением объекта. Что касается объектов управления, то следует иметь ввиду, что в натурных объектах всегда имеет место однонаправленная причинно- следственная связь, при этом в качестве причины выступает изменение всех входных воздействий, следствием которых является изменение выходных воздействий объекта. Эти причинно-следственные связи, характеризующие свойства объектов управления, отображают с помощью моделей. Модель - упрощенное отображение свойств, особенностей и условий функционирования реальных (натурных) систем, объектов и протекающих в них процессов. Модели могут быть различных видов: физические, натурные, математические, комбинированные. Если говорить о математической модели, то она представляет собой совокупность взаимосвязанных между собой уравнений, логических высказываний, символов отражающих причинно-следственные связи реальных объектов. Одним из основных требований к любой модели является требование точности отражения свойств натурных объектов. Это означает, что различие между натурными данными об изменении входных и выходных воздействий объекта и модельными, полученными с помощью, например математической модели этого же объекта, должно быть небольшим и соответствовать заданным требованиям. В противном случае результаты исследований, полученные на модели, нельзя переносить на реальный объект.

Рассмотрим кратко следующие свойства объекта:

1. Инерционность - свойство объектов реагировать на изменение входных воздействий с определенной конечной скоростью. Прежде чем пояснить это свойство, условимся обозначать все входные и выходные воздействия объекта управления следующим образом:

V=V₀+v; (16)

W=W₀+w; (17)

U=U₀+u; (18)

Y=Y₀+y; (19)

V₀,W₀,U₀,Y₀-базовые уровни соответствующих воздействий; v,w,u,y- отклонения (приращения, вариации) фактических значений V,W,U,Y от их опорных уровней(Рис.2).

Характер протекающих процессов исследуемого объекта управления в большом диапазоне изменений его входных и выходных воздействий можно отобразить с помощью математической модели, оператор которой обозначим через Ф.

Y= Ф{U,W,t}; (20)

Выражение (20) в самом общем виде указывает на то, что между входными воздействиями U, W и выходными Y существует динамическая причинно – следственная связь, которая во всем диапазоне изменения U,W,Y отображается математическим оператором Ф {t}. Символ t внутри скобок указывает на то, что этот оператор динамический. Вид его может быть различным: дифференциальным, интегральным или интегро-дифференциальным уравнением. В общем Y= Ф {U,W,t} есть обозначение математической модели объекта в большом диапазоне или модель «внутреннего механизма» процессов, протекающих в объекте управления. Она строится с помощью фундаментальных законов естественных наук и детально отражает все необходимые стадии преобразования энергии и вещества в объекте. Выражение (20) можно записывать в виде

Y₀= Ф {U₀, W₀, t} (21)

Зависимости между входными и выходными воздействиями в малом диапазоне их изменения (в отклонениях, приращениях) мы будем записывать малыми буквами.

y= φ {u, w, t} (22),

гдеφ – математический оператор связи между отклонениями входных и выходных воздействий, но в малом диапазоне изменения. Выражение (22) можно также рассматривать как модель объекта. Ее называют кибернетической (функциональной) моделью или моделю в «малом», имея ввиду в малом диапазоне изменения u, w, y. Поясним свойство инерционности с помощью модельных представлений: функциональных или кибернетических моделей, отражающих зависимости между отклонениями u(t), y(t), w(t), v(t). Пояснение представлено в графической форме (рис.6.)

На верхнем графике этого рисунка представлено отклонения входного воздействия w(t), а на нижнем - реакции нескольких объектов.

v(t)

v₁

δv(t)

y(t) t₀ t

3 2

y₁

1 δy(t)=k₀,при

δV(t)=1

y₀ t₀ t₁ t

Рис.8. Графическая интерпретация инерционности объектов

Пусть в момент времени t₀ входное воздействие v(t) резко изменилось. На графике это отображено в виде скачка δv(t). Возможные реакции объекта на этот скачок представлены ниже кривыми 1,2,3. Кривая 1 отображает свойство объекта, у которого скорость реакции постепенно замедляется и спустя какое-то время (в момент t₁₎, эта скорость становится равной 0, а y(t)=const. Про такие объекты говорят, что они обладают свойством самовыравнивания, т.е. способны приходить в новое установившееся состояние. Кривая перехода из одного установившегося состояния в другое называется кривой переходного процесса. Такая кривая 1, отображена на рисунке, и является моделью линейного дифференциального уравнения первого порядка

Решением этого уравнения будет экспонента:

(25), при v(t)=1, где - постоянная времени объекта, k₀– коэффициент передачи объекта.

Постоянная времени объекта управления является численной мерой его инерционности. Чем больше его величина, тем меньше скорости изменения y(t) и тем больше время переходного процесса.

Ниже на рисунке 7 графически показано как влияет инерционность объекта на характер изменения выходного воздействия у(t).

Согласно вышенаписаному неравенству, объект с постоянной времени имеет большую скорость, а – минимальную из этих трёх.

V(t)

t

y(t) ε

T₀₁ T₀₂

2ε

T₀₃ y при t=t₁

t

t₀ t₁

Рис.9. Реакция объектов различной инерционности на скачек

Объекты, реакция которых соответствует рисунку 7, являются динамическими объектами. Реакция таких объектов на изменение входных воздействий всегда выражена в виде переходного процесса(рис 6,7). Одной из характеристик такого процесса, является время переходного процесса.

Это такое время, в течение которого проявляется реакция объекта на изменение входных воздействий.

На рисунке 7 показано изменение входного воздействия в виде скачка в момент времени.

По истечении времени переходного процесса, выходная переменная у, приходит в установившееся состояние, т.е. характеризуется постоянным значением y(t).

Время переходного процесса равно

- время, принятое за конец переходного процесса. Оно соответствует тому моменту времени, когда кривая переходного процесса войдёт в достаточно узкий коридор величиной 2ε, где ε- малая величина выбирается, исходя из масштаба изменения у.

Можно взять эту величину в процентном отношении относительно постоянной времени (1 или 2 % от постоянной времени).

Кривая 2(рис.6), характеризует свойства объекта, не обладающего самовыравниванием, т.е. такого объекта, у которого скорость изменения y(t) остается постоянной. Такая кривая теоретически уходит в бесконечность, но для реального объекта она связана с величиной его емкости. При этом под емкостью понимают то предельное значение накопленного вещества или энергии, которое свойственно этому объекту. В этом случае накопление будет происходить до достижения этого предельного значения. Теоретически, при отсутствии предельного значения объект характеризуется соотношением

y(t)= (29)

Интегрирование k₀ – коэффициент интегрирования характеризует скорость накопления.

Таким образом, если реакция объекта характеризуется кривой 1 или 2, то он называются динамическим объектом. Соответственно записанные уравнения, которые отражают реакцию объекта на изменение входного воздействия v(t) называются динамическими моделями. Если свойства реального объекта таковы, что его скорость реакции очень велика и переходным процессом можно пренебречь, то такой объект часто называют статическим объектом (кривая 3, рис.6). Связь входного и выходного воздействий, для такого объекта можно отобразить следующим выражением:

y(t)=k₀v(t) (30),

k₀- коэффициент передачи объекта. Этот коэффициент отражает во сколько раз изменится выходное воздействие объекта в установившемся состоянии по отношению к изменению входного воздействия

-статический объект;

-динамический объект;

Кривая 1 описывается экспоненциальным уравнением вида:

(33), где T₀– постоянная времени;

Уравнение (33) является решением дифференциального уравнения (24).

Инерционность двояким способом сказывается на задаче управления. С одной стороны она усложняет эту задачу, особенно если инерционность объекта достаточна велика, т.к. возникает необходимость учитывать поведение объекта на достаточно большом интервале будущего времени, равного времени переходного процесса. С другой стороны инерционный объект обладает сглаживающими свойствами. В том смысле, что не пропускает на своем выходе (не реагирует) высокочастотные изменения входных воздействий. Т.е. нет необходимости вмешиваться в работу объекта со стороны управляющей части для устранения нежелательных последствий таких высокочастотных изменений внешних воздействий.

Рис.8. Примеры объекта управления

Пример a Пример b

Условия примеров: имеются 2 бака с водой одинаковой конструкции, куда поступает вода. 1- приход воды, 2- расход воды, h-уровень воды в баках. В 1 баке вода вытекает самопроизвольно через отверстие в днище бака, а во втором баке вода откачивается насосом постоянной производительности. Исходное состояние баков одинаково и характеризуется условием 1= 2, h1=h2.В один и тот же момент времени скачком увеличим приход воды. Требуется нарисовать кривые изменения уровней h во времени для обоих баков, которые должны отражать динамику изменения состояния этих объектов.

Рис.10. Динамика изменения входных и выходных воздействий

Для интегральных объектов, имеющих конечную емкость, используются специальные интегральные уравнения с отсечкой, где в течение определенного времени объект функционирует по интегральному закону, т.е. накапливает вещество или энергию. Время, в течение которого происходит достижение предельной емкости, называется временем отсечки, после которого объект не изменяет накопленную емкость.

Про динамические объекты говорят, что они обладают памятью, подразумевая при этом, что объект как бы помнит те изменения входных воздействий, которые были произведены на предыстории его функционирования. Эта память с течением времени затухает и спустя какой-то промежуток времени объект перестает помнить нанесенное ранее изменение входных воздействий. Эта память количественно напрямую связана с инерционностью объекта.

Практически можно считать, что память объекта может быть отождествлена с временем переходного процесса.

2. З апаздывание – это свойство объекта реагировать на изменение входных воздействий не мгновенно, а спустя определенный промежуток времени.

Рис.11. Графическая интерпретация времени запаздывания

₀=t₁-t₀ (34) - время запаздывания объекта.

Причиной запаздывания объекта является затрата времени на транспортировку вещества или энергии, с помощью которых осуществляется воздействие на объект управления.

Рис.12. Пример транспортного запаздывания нагревательной печи

РЗ

4

1 2 5 НП

L

1) Регулирующая заслонка (P3);

2) Трубопровод (газопровод);

3) Труба для выходных газов;

4) НП (нагревательная печь);

5) Топливосжигающее устройство (ТСУ);

Пусть одним из основных показателей (выходных воздействий) является температура рабочего пространства печи, изменение которой в системе управления осуществляется целенаправленно путем изменения подачи газа по трубопроводу. Если температура меньше необходимой, то увеличивают подачу газа. Изменение подачи газа осуществляется с помощью регулирующей заслонки (1). Топливо в свою очередь сжигают в топливосжигающем устройстве (5). При этом количество тепла от сжигания топлива прямо пропорционально его расходу. Между РЗ и ТСУ имеется расстояние L. Время транспортировки газа при изменении подачи топлива

₀=L/ (35), где – скорость движения газа, и именно это время определяет запаздывание в объекте по данному каналу преобразовании изменений входных воздействий.

Y

V₂

ОУ

а)

Y

ОУ

б)

Рис.11. Пример канала преобразования в объекте

Под каналом преобразований изменения входных воздействий объекта будем понимать, ту часть объекта, которая отражает существующую причинно-следственную связь между одним из входных воздействий и одним из выходных воздействий.

На рис.12 приведен пример:

1) Объекта, имеющего два входных воздействия и одно выходное(рис.12а), этот объект имеет два канала преобразования воздействий;

2) На рис.12б, объект отражает изменения входных воздействий как на выходное, а вторые каналы отражают изменение также. Будем условно обозначать такие каналы преобразования следующим образом:

«δ δ»; «δ δ»;

«δ» «δ»

Y= где - опорный (базовый) уровень изменения Y.

δ =ф { δ } =ф { }

соответствующие составляющие выходного воздействия Y которые отражают влияние именений δ и.

ф {. } и ф {. } - математические модели.

Представленная на Рис.12 схема объекта характеризует не упр. объект, который не является частью системы управления. В противном случае, и далее продолжим по схеме: для объекта управления необходимо входные воздействия разделять на внешние и управляющие воздействия.

Предположим, что представленный на рис.12.а) объект, является объектом управления, т.е. представляет собой неотъемлемую часть системы управления. В этом случае входные воздействия и мы должны классифицировать и соответственно отнести каждое из них либо к классу внешних воздействий, либо к классу управляющих воздействий.

Предположим, что есть внешнее воздействие и обозначим его через W, а является управляющим воздействием, т.е. в,тогда для этого объекта выделим два канала преобразования:

«δW δ»;

«δU δY_u»;

Первый будем называть каналом преобразования изменения внешних воздействий δW, а δY_u - эффектами влияния изменений управляющих воздействий. Второй будем называть каналом преобразования изменений управляющих воздействий(δU), а δY_u– эффектами влияния изменений управляющих воздействий.

Канал преобразования «w» будем называть каналом преобразования внешних возмущений, а канал преобразования «u» каналом преобразования регулирующих воздействий или просто каналом регулирования.

В отличие от инерционности запаздывание всегда усложняет задачу управления, особенно если запаздывание очень велико.

Понятие малого или большого запаздывания - относительно. Его необходимо сравнивать с временем, которое характеризует динамику преобразования энергии или вещества в рассматриваемом канале, а точнее, с постоянной времени, если объект описывается дифференциальным уравнением(линейным) 1-ого порядка.

Поэтому, когда характеризуют динамические свойства каналов преобразования объекта, то используют комплексную характеристику, в виде отношения

(37), т.е. отношение времени запаздывания к постоянной времени, если 0< ≤0,3, то запаздывания считается относительно малым, если, то говорят о большом времени запаздывания канала преобразования.

Тяжелее управлять объектом, если каналы, преобразующие управляющее воздействие имеют большие запаздывания.

Рассмотрим пример на рис.11. Здесь запаздывание в регулирующем канале зависит от расстояния L и скорости изменения газа. При больших L и малых V отношение может быть больше 1. Предположим, что значение регулируемой переменной в печи меньше заданного. В этом случае будет подан сигнал на увеличение подачи газа, но пока это изменение подачи газа дойдет непосредственно до объекта, состояние его может сильно измениться и управление будет не эффективным. Получается, что в момент времени t необходимо вырабатывать такое управляющее воздействие, которое должно быть ориентировано на прогнозируемое значение регулируемой переменной ŷ(t+) (38) в момент времени t+Тп

где интервал прогнозирования (будущее время), а ^ над y означает прогнозируемое значение.

При этом должно быть меньше, чем. Следовательно, чем больше, тем на больший интервал времени необходимо прогнозировать регулируемую переменную y. Если на управляемый объект действует неконтролируемое возмущение (объект функционирует в условиях неопределенности), то предсказать поведение такого объекта точно не возможно, всегда будет иметь место ошибка. Теория и практика прогнозирования показывает, что чем больше интервал прогнозирования, тем больше ошибка прогнозирования.

Таким образом в конечном итоге увеличение запаздывания в регулирующем канале всегда приводит к снижению точности управления. Запаздывание также отрицательно сказывается на проблеме устойчивости системы.

Для объектов с большими запаздываниями в теории управления разработан специальный класс алгоритмов прогнозирующего управления.

В этих алгоритмах в процессе выработки управляющих воздействий предварительно осуществляется прогнозирование значений или траекторий управляемых выходных воздействий. При этом под прогнозированием понимается оценка будущих значений на конечном интервале времени управляемых переменных, т.е. выходных переменных, полученное с использованием всей доступной на текущий момент времени информации.

Прогнозирование выходных переменных управляемых объектов, т.е. объектов являющихся частью системы управления, принципиально отличается от неуправляемых объектов.

При прогнозировании выходных переменных управляемых объектов, необходимо использовать для оценки будущих значений выходных переменных всю доступную на текущий момент времени информацию. К ней следует отнести данные об изменении управляющих воздействий(U(t)) и контролируемых внешних воздействий ((t)), а также данные об изменении неконтролируемых воздействий ((t)). Возникает вопрос: каким образом получить данные об изменении неконтролируемых внешних воздействий, если не известно ни место приложения их к объекту, ни характер изменений? Оказывается что если нельзя на прямую оценить неконтролируемые воздействия, то их можно оценить косвенно с помощью приведённых к выходу объекта возмущений.

Рис.14. Структура объекта управления при наличии неконтролирующих возмущений

Для такого объекта мы выделим 2-а класса внешних воздействий: 1) контролируемые и 2) неконтролируемые.

Контролируемые - такие воздействия, данные о изменении которых непрерывно или с заданной дискретностью поступают в управляющую часть системы, т.е. они известны и используются при выработке управляющих воздействий. Они обозначены.

Неконтролируемые – такие воздействия, о которых известно лишь то, что они должны быть на входе объекта и соответственно влиять на выходные переменные Y(t), но их значения неизвестны. Неизвестен и их характер изменения во времени, может быть даже неизвестно место их приложения к объекту. Но если они по своему эффекту достаточно значительны, т.е. вызывают большие изменения Y(t), то их необходимо учитывать при выработке управляющих воздействий и при выборе структуры системы управления.

Поэтому на практике очень важно оценить подвержен ли объект влиянию внешних воздействий, и если да, то насколько. В принципе можно выделить два способа такой оценки:

1) экспериментальный (с помощью эксперимента).

2) расчетный (с помощью моделирования)

Для 1-го способа разрабатывается план, при котором внешние контролируемые и управляющие воздействия выводятся на свои постоянные уровни (базовые), и спустя время переходного процесса анализируется характер изменения выходной переменной. Если эта переменная будет мало изменяться относительно установившегося уровня, либо скорость ее изменения (для интегральных объектов) будет плавно изменяться, то делается вывод об отсутствии или малом влиянии внешних неконтролируемых возмущений. В противном случае объект подвержен влиянию неконтролируемых возмущений. Однако, такой эксперимент провести очень трудно, а иногда и просто невозможно. Причина: отсутствие возможности стабилизировать внешнее контролируемое возмущение.

Поэтому практическое применение для оценки приведённых возмущений нашёл расчётный способ, т.е. способ моделирования.

Выдвинем гипотезу, что объект имеет структуру представленную на рис.13. Для того чтобы определить подвержен ли объект влиянию внешних неконтролируемых воздействий, все входные и выходные воздействия представим в следующем виде:

U(t)=U₀(t)+u(t) (39);

W_k(t)=W_k0(t)+w_k(t) (40);

Y(t)=Y₀(t)+y(t) (41);

Представим y(t) как сумму трех составляющих:

y(t)=y_u(t)+y_w(t)+y_wn(t) (42), где

y_u(t)=φ_u{u(t)} (43) -эффекты влияния регулирующих воздействий u(t), рассчитанные с использованием математической модели φ_u{•} каналов преобразования регулирующих воздействий;

y_w(t)=φ_w{w_k(t)} (44) -эффекты влияния отклонений контролируемых внешних воздействий от их опорного уровня, рассчитанные с использованием модели φ_w{•} каналов преобразования внешних контролируемых возмущений.

Опорный уровень выходного воздействия рассчитывается с помощью следующего выражения:

(45), где Ф – математическая модель объекта в большом диапазоне изменений Такую модель часто называют математической моделью внутреннего механизма процессов, протекающих внутри объекта управления. «Большой» диапазон изменения, иначе называют рабочим диапазоном изменения. Он отражает все допустимые в рабочем режиме функционирования объекта изменение соответствующих воздействий.

Если модели Ф{•}, φ_w{•}_, φ_u{•} для объекта известны, то мы можем рассчитать приведенное к выходу объекта возмущение у_wн(t) как интегральную характеристику эффектов влияния всех неконтролируемых возмущений, выраженную в масштабе изменения выходной переменной Y(t)

y_wн(t)=Y(t)-Y₀(t)-y_u(t)-y_w(t);

Y₀(t)= Ф{W_k0(t), U₀(t)};

Y_u(t)= φ_u{ u(t)}; (46)

y_w(t)=φ_w{w_k(t)};

(47) u(t)=U(t)-

(48);

Выражение (46) составляет в общем виде основу алгоритма расчета при веденных в выходу возмущений y_wн(t).

Приведенное возмущение y_wн(t) является интегральной характеристикой всех неконтролируемых внешних возмущений, выраженной в масштабе изменения выходной переменной y(t). Другими словами, приведенное к выходу возмущение позволяет косвенным образом оценивать уровень неконтролируемых возмущений через эффекты их влияния на выходную переменную ОУ. Эта характеристика является очень важной при выборе структуры системы управления.

Дата добавления: 2014-01-11