Малосигнальный анализ схем в диапазоне частот

Анализ электронных схем в частотной области допустим в предположении их функционирования в режиме малого сигнала и линеаризации характеристик элементов в окрестности рабочей точки, определяемой статическим режимом.

Правила составления эквивалентной схемы для частотного анализа рассмотрены в главе 4 (см. рис. 4.4 и пояснения к нему).

Результатами частотного анализа схемы также являются схемные функции (коэффициенты передачи и входное и выходное сопротивления), но поскольку в данном случае учитывается зависимость от частоты параметров реактивных элементов схемы, схемные функции будут так же зависеть от частоты.

Проведем частотный анализ показанной на рис. 5.1 схемы: получим выражения для амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик его коэффициента передачи по напряжению k_u. Исходные данные: R ₁ = 2 кОм, R ₂ = 1 кОм, R ₃ = 10 кОм, С = 1 мкФ. Операционный усилитель будем считать идеальным.

Рис. 5.1. Схема для проведения частотного анализа

При малосигнальном анализе, в том числе и в диапазоне частот, идеальный операционный усилитель (ОУ) обычно представляют как источник напряжения, управляемый напряжением (рис. 5.2), с бесконечным входным сопротивлением. При этом часто считают выходное сопротивление r _вых равным нулю, а коэффициент передачи дифференциального (разностного) входного напряжения k _д – стремящимся к бесконечности. Вследствие этого, если для схемы с идеальным операционным усилителем записать систему уравнений по методу узловых потенциалов, то в уравнении для узла, к которому подключен выход ОУ, потенциал этого узла будет умножаться на сумму подключенных к нему проводимостей, одна из которых бесконечна. Поэтому при составлении уравнений по методу узловых потенциалов уравнения для узлов, к которым в схеме подключены выходы операционных усилителей, не записываются. Так как при этом число уравнений станет меньше числа неизвестных потенциалов узлов на количество ОУ в схеме, система станет неразрешимой. Поэтому ее дополняют уравнениями вида φ_и = φ_ни, где φ_и, φ_ни – потенциалы инвертирующего и неинвертирующего входов ОУ (это уравнение также вытекает из предположения об идеальности операционного усилителя).

Рис. 5.2. Схема замещения идеального операционного усилителя

С учетом этих особенностей составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для схемы, представленной на рис. 5.1:

(5.1)

где pC – изображение емкостной проводимости Y_C = j ω C (по Лапласу).

Нам необходимо получить зависимость от частоты коэффициента передачи схемы по напряжению k_u, который определяется как отношение выходного напряжения схемы ко входному:

Заменив в системе (5.1) потенциал φ₁ на равный ему φ₂, получим

Данную систему удобно решить методом подстановки, выразив из второго уравнения φ₂ через e _г и подставив затем это выражение вместо φ₂ в первое уравнение. Тогда

или

.

Отсюда

Произведя замену p на j ω, получим зависимость коэффициента передачи по напряжению от комплексной частоты:

(5.2)

На практике вместо выражения (5.2) пользуются зависимостями от частоты отдельно модуля и аргумента коэффициента передачи – АЧХ и ФЧХ. Пусть в общем случае схемная функция (в нашем случае это коэффициент передачи по напряжению) представлена в виде

где Re A, Im A – реальная и мнимая части числителя схемной функции;
Re B, Im B – реальная и мнимая части знаменателя схемной функции.
Тогда модуль схемной функции (АЧХ) будет определяться как

а ее аргумент (ФЧХ) – как

В нашем случае выражением для АЧХ будет

а выражением для ФЧХ –

С учетом приведенных параметров элементов схемы имеем

(5.3)

Построим качественно АЧХ и ФЧХ для нашего примера (рис. 5.3). Подставим в выражения (5.3) частоту ω = 0. При этом модуль коэффициента передачи будет равен 6. Это означает, что на нулевой частоте (на постоянном токе) схема усиливает входное напряжение e _г в 6 раз. Угол фазового сдвига φ на нулевой частоте равен нулю.

Рис. 5.3. Амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики коэффициента передачи по напряжению схемы на рис. 5.1

Исследуя выражения (5.3), можно увидеть, что при ω → ∞ модуль коэффициента передачи стремится к нулю, а фазовый сдвиг – к углу -π/2.

Частота, на которой модуль коэффициента передачи уменьшается в раз от своего максимального значения, т.е. в данном случае равен , называется граничной. Приравняв модуль коэффициента передачи к , получим, что граничная частота в нашем случае ω_гр = 10³ с^-1. Угол фазового сдвига на этой частоте, как видно из выражения (18) для φ, равен -π/4.

Дата добавления: 2014-01-11