Однородные уравнения

Уравнения с разделяющимися и разделенными переменными

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Д.У. 1-го порядка имеет вид: F (x, y, y¢) = 0, (3)

или если уравнение разрешено относительно производной, то

y¢ = f (x, y). (3¢)

Общее решение y = j (x, C) зависит от одного произвольного постоянного С.

Теорема 2. (о существовании и единственности решения Д.У.)

Если в уравнении y¢ = f (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная f ′_y (x, y) – непрерывны в некоторой области D, содержащей некоторую точку (x ₀, y ₀), то существует единственное решение этого уравнения

у = j (х), удовлетворяющее начальному условию: j (x ₀) = у ₀.

Геометрический смысл теоремы: Существует единственная функция

у = j (х), график которой проходит через точку (x ₀, y ₀).

Рассмотрим основные виды Д.У. 1-го порядка.

◙ Д.У. вида M (x) dx + N (y) dy = 0 (4)

называют уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл его есть .

а) Д.У. вида y¢ = f (x) g (y) (5)

можно привести к уравнению с разделенными переменными:

, (предполагая, что g (y) ¹ 0).

Интегрируя, находим обший интеграл уравнения (5): .

◙ б) Д.У. вида M ₁(x) N ₁(y) dx + M ₂(x) N ₂(y) dy = 0 (6)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Его можно привести к уравнению с разделенными переменными.

Умножим (6) на :

.

Интегрируя, получим общий интеграл уравнения (6):

.

◙ Функция f (x, y) – однородная функция п -го порядка относительно х и у Û " l Î R f (lx, ly) = lⁿ f (x, y).

◙ Уравнение y¢ = f (x, y) (7)

называется однородным уравнением 1-го порядка, если f (x, y) – однородная функция нулевого порядка относительно х и у.

Метод решения однородного уравнения

По условию " l Î R f (lx, ly) = f (x, y).

Рассмотрим это тождество при .

Тогда уравнение (7) примет вид: (7′)

Сделаем подстановку: Û у = их Þ

Þ Þ (7′) Û Û

Û – уравнение с разделенными переменными.

Интегрируя, найдем: .

Подставляя после интегрирования вместо и отношение , получим общий интеграл уравнения (7′).

З а м е ч а н и е. М (х,у) dx + N (x,y) dy = 0 однородное уравнение 1-го порядка Û М (х,у) и N (x,y)однородные функции одного порядка.

Дата добавления: 2014-01-11