Принцип неразличимости квантовых частиц

В отличие от макроскопических тел, элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны и др.) обладают совершенно одинаковыми свойствами. В связи с этим возникает вопрос, как отличить одну частицу от другой такой же частицы. Рассмотрим, например, систему, состоящую из двух электронов. В классической физике каждый электрон движется по своей траектории и можно проследить за движением каждого из них. Если электроны поменяются местами, то мы получаем новое состояние, которое во всех отношениях обладает теми же свойствами, что и исходное состояние, но отличается нумерацией электронов, т.е. в классической физике одинаковые частицы принципиально различимы.

Совсем иначе обстоит описание этих же электронов в терминах квантовой механики. Состояние системы из двух электронов описывается двухчастичной волновой функцией, являющейся функцией времени и координат обоих электронов. Обнаружив в какой-то момент времени один из электронов в данной точке пространства, невозможно принципиально сказать, какой из электронов оказался в данном месте, так как в квантовой механике нет понятия траектории, по которой можно было бы проследить движение электрона. Это означает, что, если две одинаковые частицы поменять местами, то результат такого обмена нельзя обнаружить экспериментально. Поэтому в квантовой механике принимается, что при перестановке двух одинаковых частиц не возникает нового состояния. Одинаковые частицы принципиально неразличимы! Можно говорить о состоянии системы одинаковых только в целом, а не о состоянии каждой частицы в отдельности. Таким образом, можно говорить о принципе тождественности одинаковых частиц: в системе одинаковых частиц реализуется только такие состояния, которые не меняются, если поменять местами две любые частицы.

Волновую функцию двух одинаковых частиц можно записать в виде ψ(q ₁, q ₂). В случае безспиновых частиц под q понимается совокупность трех пространственных координат каждой частицы. Если же частицы обладают и спином, то к тройке пространственных координат следует добавить еще спиновые координаты, которые могут принимать дискретный ряд значений, например, значение проекции спина. Переставим теперь местами эти частицы. Тогда волновая функция такого состояния будет иметь вид ψ(q ₂, q ₁). Эту операцию можно рассматривать как результат действия линейного оператора на функцию ψ(q ₁, q ₂), называемого оператором перестановки:

(26)

После вторичной перестановки получаем исходную функцию ψ(q ₁, q ₂):

(27)

откуда находим, что Р = ± 1. Это означает, что допустимы волновые функции двух типов:

(28)

В первом случае волновая функция при перестановке частиц не изменяется и называется симметричной, во втором случае функция называется антисимметричной и при перестановке одинаковых частиц изменяет знак.

Полученные результаты можно обобщить и на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. В этом случае, как показывает опыт, симметрия и антисимметрия волновой функции имеет место при перестановке двух одинаковых частиц.

Частицы, описываемые симметричными волновыми функциями, называются бозе-частицами, или бозонами, и подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятся все частицы с нулевым или целым спином (наиболее яркие представители – фотоны).

Частицы, описываемые антисимметричными волновыми функциями, называются ферми-частицами или фермионами, и подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионам относятся все элементарные частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и др.). Связь между спином и статисткой справедлива и для сложных частиц, построенных из элементарных, т.е. для атомных ядер, атомов и молекул. Принадлежность сложной частицы к бозонам или фермионам определяется ее спином.

Например, атом водорода состоит из двух ферми-частиц: протона и электрона, спин каждого из которых равен 1/2. Суммарный спин атома водорода в нормальном состоянии может быть равен либо 0 (спины электрона и протона антипараллельны), либо 1 (спины параллельны). В обоих случаях атом водорода в нормальном состоянии будет бозоном.

Второй пример. Ядро атома гелия ⁴Не состоит из двух протонов и двух нейтронов. Спин ядра равен 0, т.е. оно является бозоном. Бозоном будет и сам атом ⁴Не в нормальном состоянии. А вот ядро ³Не состоит уже из нечетного числа частиц со спином ½ - двух протонов и нейтрона. Спин этого ядра нечетный, и поэтому оно является фермионом. Ядра и атомы ⁴Не подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна, а ядра и атомы ³Не – статистике Ферми – Дирака (это проявляется, например, в том, что ⁴Не вблизи абсолютного нуля температуры обладает сверхтекучестью, а ³Не – не обладает).

Применим принципы симметрии и антисимметрии к системе двух одинаковых не взаимодействующих между собой частиц. Уравнение Шредингера для такой системы в стационарном состоянии можно записать в виде

(29)

где операторы Гамильтона имеют одинаковый вид, но зависят от координат разных частиц. Решение данного уравнения (это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными) можно представить в виде произведения двух функций:

где φ _α и φ _β являются волновыми функциями, описывающими состояние каждой отдельной частицы, а символами 1 и 2 условно обозначены координаты первой и второй частицы. В силу тождественности частиц функция также будет решением уравнения Шредингера. Однако ни одна из этих функций не удовлетворяет принципу симметрии или антисимметрии. Но из них можно составить линейные комбинации, среди которых будет симметричная функция

и антисимметричная

(30)

Состояние, описываемое функцией ψ _s, может реализоваться в случае системы двух одинаковых бозонов, а состояние ψ _α – в случае двух одинаковых фермионов.

В случае невзаимодействующих одинаковых частиц имеет смысл говорить о состоянии не только системы в целом, но и о состоянии одной частицы. Например, можно сказать, что одна какая-то частица находится в состоянии φ _α, а другая – в состоянии φ _β. При этом фермионы ведут себя совершенно иначе, чем бозоны.

В системе одинаковых фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Это отчетливо видно из соотношения (30), так как в случае

φ _α = φ _β волновая функция системы обращается в нуль, что физически не соответствует никакому состоянию (принцип запрета Паули), которым мы уже пользовались ранее. На бозоны принцип запрета Паули не распространяется. В одном и том же состоянии может находиться любое число одинаковых бозонов.

Дата добавления: 2014-01-11