Ранг матрицы. Пусть дана прямоугольная матрица :

Пусть дана прямоугольная матрица: .

Минором k -го порядка будем называть определитель, полученный из нее после вычеркивания (m-k) строк и (n-k) столбцов.

Минорами первого порядка являются элементы матрицы.

Наибольший порядок минора, который можно составить равен min {m, n}.

Рангом матрицы будем называть наибольший порядок отличного от нуля минора.

Из определения следует, что ранг невырожденной квадратной матрицы n -го порядка равен n, а ранг любой нулевой матрицы равен 0.

Базисными будем называть все миноры, отличные от нуля, порядок которых равен рангу матрицы.

Строки и столбцы матрицы,входящие в базисный минор, будем называть базисными, а остальные ряды - свободными.

Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие операции:

- транспонирование;

- перестановки параллельных рядов (строк или столбцов);

- вычеркивание нулевого ряда;

- вычеркивание всех кроме одного одинаковых или пропорциональных

параллельных рядов;

- умножение любого ряда на число, не равное нулю;

- прибавление к любому ряду линейной комбинации параллельных рядов.

4.1. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

4.2. Если ранг матрицы равен r, то в ней можно найти ровно r линейно независимых строк

и столько же линейно независимых столбцов, при этом .

4.3. Любой ряд матрицы можно представить в виде линейной комбинации параллельных базисных рядов.

4.4. Для того чтобы определитель квадратной матрицы был равен нулю, необходимо и достаточно,

Дата добавления: 2014-01-11