Формули Крамера

Знайдемо розв'язок СЛАР з двома невідомими

(4.1)

Коефіцієнти та вільні члени , , будемо вважати заданими.

Помножимо перше рівняння на ≠0, друге на (–)≠0 і додамо рівняння:

,

тоді

. (4.2)

Аналогічно помножимо перше рівняння на (–)≠0, друге на ≠0 і додамо рівняння:

, (4.3)

тобто

. (4.3)

Різниці добутків у формулах (4.2), (4.3) можна записати у вигляді визначників другого порядку:

, , .

(4.4)

Зазначимо, що визначники утворюються з визначника , заміною елементів першого та другого стовпця відповідно стовпцем вільних членів.

Означення. Визначник (4.4) , складений з коефіцієнтів при невідомих системи (4.1), називається визначником системи (4.1).

Таким чином формули (4.2), (4.3) набувають вигляду

(4.5)

Оскільки система (4.5) є наслідком системи (4.1), то її розв'язок, якщо він існує, є розв'язком і системи (4.1).

При розв'язуванні системи (4.5) можуть виникнути три суттєво різні випадки:

1) Якщо ≠0, то система (4.5) має єдиний розв'язок:

(4.6)

який є розв'язком системи (4.1)

Формули (4.6) називають формулами Крамера.

2) Якщо =0 і при цьому хоч один із визначників відмінний від нуля, то система(4.5) розв'язку немає. Отже, і система (4.1) — несумісна.

3) Якщо =0, =0, =0, то система (4.5) має безліч розв'язків.

Доведення. Оскільки при =0, =0, =0

(4.7)

то із співвідношень (4.7) маємо

. (4.8)

Позначимо кожне із співвідношень (4.8), через :

тоді

Підставимо ці значення у друге рівняння системи (4.1):

. (4.9)

Скоротивши на t, одержимо перше рівняння системи (4.1). Отже, система рівнянь невизначена, тобто має безліч розв'язків, що і потрібно було довести.

Дата добавления: 2014-01-11