С помощью методов теории размерностей

Математическое описание процессов

Отличительная черта методов анализа размерностей состоит в том, что для их применения исследователь должен располагать полным списком параметров, характеризующих объект, которые могут быть размерными или безразмерными, переменными или постоянными.

Теория размерностей не дает никаких указаний относительно того, как выявить список фактов, в достаточной мере характеризующих процесс. Этот список следует установить другими средствами. Наиболее просто он устанавливается, если задача сформулирована математически. Для этого лишь следует выписать все параметры, которые необходимо и достаточно задать для того, чтобы из уравнений задачи получить численные значения всех искомых величин. В ряде случаев искомый список можно составить, исходя из смысла задачи и характера физического процесса, не располагая ее математической формулировкой. Однако это возможно лишь в простейших случаях.

При исследовании сложных явлений для составления списка параметров, достаточного для математического описания, в большинстве случаев необходимо проводить специальный анализ, предварительные теоретические и экспериментальные исследования. Основная цель таких предварительных исследований заключается в том, чтобы проанализировать все имеющиеся по данному вопросу сведения теоретического и экспериментального характера и построить хотя бы предварительную схему (модель) явления. Модель необходима и для последующего строгого математического исследования явления, однако для исследования методами теории размерностей надо знать значительно меньше, чем для математической формулировки задачи и составления уравнений движения, энергии и т.п. Предварительная модель может носить количественный или качественный характер. Тем не менее, даже качественная модель позволяет глубже разобраться в сущности исследуемого процесса и полнее выяснить список параметров, характеризующих данное явление.

Встречаются случаи, когда по интуитивным и предварительным теоретическим выкладкам трудно определить, насколько велик вклад, вносимый тем или иным параметром в исследуемый эффект, т.е. трудно установить, существенным или несущественным является этот фактор. В этом случае обычно проводятся экспериментальные исследования с применением таких методов математической статистики, как дисперсионный и факторный анализ, позволяющие оценить вклад каждого параметра.

Одно из основных достоинств теории размерностей заключается в том, что она позволяет исследовать тот или иной эффект влияния не от отдельных параметров, а от целых комплексов, составленных из параметров на основе анализа их размерностей. Поэтому для правильного составления комплексов необходимо знать полный список параметров, связанных с существом процесса. Среди определяющих параметров обязательно должны быть величины с размерностями, через которые можно выразить размерности всех зависимых параметров.

В случае если в список факторов включены лишние параметры, или наоборот не вошли существенные параметры, то довольно часто выводы теории размерностей приводят к абсурдным заключениям.

Теория размерностей основывается лишь на функциональных связях между размерностями физических параметров, характеризующих данный процесс. Она имеет два существенных недостатка:

1. С помощью только одной теории размерностей нельзя определить зависимости между безразмерными величинами.

2. Выводы теории размерностей не меняются, если в уравнении, описывающем процесс, изменить некоторые параметры путем умножения на положительные или отрицательные безразмерные числа или функции, зависящие от системы определяющих факторов, в то время как подобные видоизменения могут существенно изменить характер уравнений, описывающих процесс.

2.7. Представление физических зависимостей в безразмерном виде.

Однородные уравнения обладают свойством, которое можно сформулировать следующим образом: всякое однородное уравнение может быть представлено в виде зависимости между безразмерными степенными комплексами К, представляющих собой отношение параметров, имеющих производные единицы измерения, входящих в уравнение.

Пусть дано физическое уравнение

, (27)

где a ₁, a ₂,..., a_n - параметры, имеющие основные единицы измерения; b ₁, b ₂,..., b_m - параметры с производными единицами измерения.

Некоторые из этих параметров могут постоянными, другие - переменными.

Предположим пока, что заданное физическое уравнение представляет собой сумму степенных комплексов одинаковой размерности. Такое уравнение можно представить в безразмерном виде путем деления всех членов уравнения на какой-либо один из них. В итоге получим

, (28)

где

(29)

является одним из безразмерных членов этой суммы, в который могут входить не все, а только некоторые из параметров a и b. Для простоты выводов примем только две производные величины b ₁ и b ₂ и ограничимся, как и ранее, механической системой единиц измерения. Тогда размерности производных величин можно представить

(30)

Из этих равенств следует, что если параметры [ b ₁] и [ b ₂] разделить на их размерности, то полученные дроби будут безразмерными.

Произведем такое деление в общем безразмерном члене (29), а чтобы оставить его безразмерным, умножим на те же величины:

, (31)

где φ₁ = ε₁β₁ + ε₂β₂; φ₂ = γ₁β₁ + γ₂β₂; φ₃ = μ₁β₁ + μ₂β₂.

В соответствии с равенствами (30) комплексы

и (32)

являются безразмерными. Тогда, в силу безразмерности выражения (31), комплекс тоже будет безразмерным. Но так как он составлен из первичных размерных величин, безразмерным он может быть либо когда показатели φ₁, φ₂, φ₃ равны нулю, либо когда параметры a ₁, a ₂,..., a_n в исходном уравнении (27) имеют одинаковые размерности, и поэтому могут образовывать симплексы (безразмерная величина, представляющая отношение параметров, имеющих основные единицы измерения) типа и т.д.

Таким образом, общий член суммы (28) представляет произведение безразмерных комплексов П и симплексов S, т.е.

(33)

Предположим, что в состав уравнения (27) входят члены, содержащие трансцендентные функции. Тогда все, что было сказано по отношению к общему члену суммы (28), может быть отнесено и к аргументу трансцендентной функции, вследствие чего он может быть приведен к виду (33), т.е. представлен произведением безразмерных комплексов и симплексов.

Дата добавления: 2014-01-11