Частные случаи пересечения

Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное пересечение геометрических фигур

1. Пересечение прямой с плоскостью.

2. Пересечение прямой с поверхностью.

3. Пересечение плоскости с плоскостью.

4. Пересечение плоскости с поверхностью.

5. Пересечение поверхности с поверхностью.

· Прямая может Î плоскости (см. лекцию № 2).

· Прямая может пересекать плоскость.

а) прямая | | плоскости (пересекает плоскость в ¥),

в) прямая ^ плоскости.

Прямая | | плоскости

Прямая | | плоскости, если она | | любой прямой, Î плоскости.

Пример. Через точку А провести прямую | | заданной плоскости.

Ход решения: Проводим l 1 | | a1 (через А1), l 2 | | a2 (через А2), значит прямая l | | заданной плоскости.

Рис. 3.6

4.2. Прямая, пересекающая плоскость

При решении задач можно выделить три случая:

1. Прямая общего положения и плоскость частного положения.

2. Прямая частного положения и плоскость общего положения.

3. Прямая и плоскость общего положения.

Рассмотрим третий общий случай. Задача по определению точки пересечения (встречи) прямой с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии.

Алгоритм решения задачи

1. Заключаем прямую во вспомогательную плоскость (частного положения) – плоскость- «посредник».

2. Определяем линию пересечения заданной плоскости со вспомогательной плоскостью.

3. Определяем точку пересечения заданной прямой с заданной плоскостью как точку пересечения заданной прямой с линией пересечения плоскостей - вспомогательной и заданной.

Рассмотрим пространственный чертеж.

1. a Ì l 2. a I (ABC) = MN 3. MN I l = K

Рис. 3.7

Пример. Определить точку пересечения прямой с плоскостью.

Рис. 3.8

Запишем алгоритм решения задачи:

1. Заключаем прямую l во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость a ^ P₂, при этом a₂ Ì l₂ (совпадает).

2. Находим проекции линии пересечения плоскости a и Δ ABC = M₁N₁ и M₂N₂.

3. Определяем проекции точки К (К₁, К₂ ) на пересечении l₁ и M₁N₁ - К₁, К₂ Î l₂.

4. Определяем видимость прямой.

Точка К – всегда видимая (т. к. является общей для геометрических образов). Для определения видимости на фронтальной проекции возьмем пару фронтально - конкурирующих точек, например, 1 и M. Эти точки лежат на фронтально-проецирующем луче. Фронтальные проекции точек совпадают 1₂M₂, а горизонтальная проекция точки М расположена ближе к наблюдателю, чем точки 1, значит прямая АВ расположена ближе, чем прямая l, а следовательно на фронтальной проекции прямая l до точки К не будет видна.

Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций поступаем аналогично, выбирая горизонтально-конкурирующую пару точек (2, 3) (рис. 3.8).

Пример. Определить точку пересечения прямой с плоскостью, заданной следами (общий случай). Применяем алгоритм решения основной задачи начертательной геометрии (рис. 3.9). Видимость определяется аналогично.

Рис. 3.9

Пример. Определить точку встречи прямой с плоскостью.

1 - проецирующей плоскости с прямой общего положения, 2 и 3 проецирующей прямой с плоскостью общего положения.

Рис. 3.10

В первом примере используем свойство проецирующих плоскостей: (любой геометрический образ, Î плоскости частного положения, проецируется на след этой плоскости). Во втором примере горизонтальная проекция точки пересечения совпадает с горизонтальной проекцией прямой (K₁ = l₁). Для нахождения фронтальной проекции точки К₂ проводим через точку К прямую,Î плоскости, например, n (n₁, n₂). Третий пример аналогичен второму (для решения используем фронталь f).

Дата добавления: 2014-01-11