Методы, используемые при нахождении линии пересечения поверхностей

Нами будут рассмотрены два метода, используемые при нахождении линии пресечения поверхностей:

· метод вспомогательных секущих плоскостей-«посредников»;

· метод вспомогательных концентрических сфер–«посредников».

Алгоритм решения каждым из методов будет рассмотрен на конкретном примере.

Возможны 3 случая расположения пересекающихся поверхностей относительно плоскостей проекций:

· пересекающиеся поверхности занимают проецирующее положение;

· одна из пересекающихся поверхностей занимает общее положение, вторая частное.

· обе поверхности общего положения.

Выбор посредников зависит от заданных поверхностей и их взаимного положения.

2.1. Метод вспомогательных секущих плоскостей-«посредников».

Пример. Построить линию пересечения поверхностей сферы и конуса (обе поверхности занимают общее положение).

Применяем общий алгоритм решения:

1. Определяем зону пересечения поверхностей.

2. Определяем характерные точки, принадлежащие линии пересечения:

опорные точки (наивысшая – точка 1 и наинизшая - точка 2 на очерковых образующих).

3. Определяем промежуточные точки. В качестве «посредников» выбираем плоскости частного положения (плоскости горизонтального уровня), которые пересекает сферу и конус по окружностям. Секущие плоскости проводим в зоне пересечения поверхностей.

4. Полученные точки соединяем плавной кривой. Точность аппроксимации линии пересечения зависит от принятого количества секущих плоскостей посредников.

5. Видимость полученной линии пересечения поверхностей решаем методом конкурирующих точек.

Рис. 9.2

Примечание: если одна из поверхностей занимает проецирующее (частное) положение, то одна из проекций линии пересечения уже известна.

2.2. Метод вспомогательных концентрических сфер-«посредников»

Сфера, если центр ее расположен на оси поверхности вращения, пересекает эту поверхность по окружностям a и b (рис. 9.3). Поэтому вспомогательные секущие сферы используют для построения линии пересечения поверхностей вращения.

Рис. 9.3

Способ концентрических секущих сфер-«посредников» применяется в случае, если:

· пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;

· оси вращения поверхностей пересекаются;

· оси вращения пересекающихся поверхностей параллельны одной из плоскостей проекций.

Пример. Построить линию пересечения поверхностей двух конусов (обе поверхности занимают общее положение).

Рис. 9.4

Алгоритм решения

При решении поставленной задачи выполняем пункты 1-3 общего алгоритма (область пересечения, характерные точки).

При поиске промежуточных точек используем в качестве поверхностей-«посредников» концентрические сферы. Центр, через который проводятся концентрические секущие сферы, является центром пересечения осей симметрии поверхностей. Предварительно находим максимальный и минимальный радиусы секущих сфер.

Rmin – радиус сферы от центра пересечения осей до наименее удаленной точки области пересечения поверхностей. Сфера минимального радиуса должна касаться одной поверхности и пересекать другую.

Rmax – радиус сферы от центра пересечения осей до наиболее удаленной точки области пересечения поверхностей.

Полученные точки соединяем плавной кривой. Точность аппроксимации линии пересечения поверхностей зависит от принятого количества вспомогательных концентрических сфер-«посредников». Определяем видимость полученной кривой.

Метод «Монжа» (частный случай)

Теорема Монжа. Две поверхности вращения второго порядка, вписанные в третью поверхность вращения второго порядка или описанные вокруг неё, пересекаются между собой по двум плоским кривым второго порядка.

Теорему иллюстрирует рис. 9.5. В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра, описанных около сферы, будут плоскими кривыми – эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми A₂ B₂ и C₂ D₂ , проходящие через точки пересечения очерков поверхностей вращения и точки пересечения окружностей m и n.

Рис. 9.5

РАЗДЕЛ V. Тема: «Перспектива»

Дата добавления: 2014-01-11