Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Поскольку , то по формуле (1) имеем . Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до 2: .

Здесь - общее значение аргумента, а - главное значение аргумента, которое находится на промежутке [0;и отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки.

Если , то считают, что а - неопределён.

Известно, что показательную функцию с мнимым показателем можно выразить через тригонометрические функции по формуле Эйлера . Отсюда следует, что всякое комплексное число можно записать в форме , которая называется показательной формой комплексного числа z.

Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Пусть , . Тогда

=

Значит, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на произвольное конечное число множителей. В частности,

.

Последняя формула называется формулой Муавра.

При делении комплексных чисел имеем

.

Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Если для данного комплексного числа надо найти корень п- й степени , то по определению корня и формуле Муавра имеем

.

Отсюда , .

Поскольку r и положительные, то , где под корнем понимают его арифметическое значение. Поэтому

.

Давая k значения 0,1,2,…, п -1, получим п разных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от найденных на число, кратное 2, поэтому значения корня будут совпадать с уже найденными.

Дата добавления: 2014-01-13