Определенный интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла

Пусть на отрезке [ a, b ] (b > a) задана непрерывная функция y = f (x), принимающая на этом отрезке неотрицательные значения: при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).
Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x ₀ = a, x ₁ , x ₂ , …, x_n -1 = a, x_n = b на n частей [ x ₀ , x ₁], [ x ₁ , x ₂], …, [ x_i -1, x_i ], …, [ x_n -1, x_n ]; символом будем обозначать длину i -го отрезка: . На каждом из отрезков [ x_i -1, x_i ] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [ x_i -1, x_i ] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: .
S _ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i, i = 1,2,…, n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S _ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между S _ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x ₀ , x ₁], [ x ₁ , x ₂], …, [ x_i -1, x_i ], …, [ x_n -1, x_n ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков[ x_i -1, x_i ] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ x_i -1, x_i ], ни от выбора точек , то функция f (x) называется интегрируемой по отрезку [ a, b ], а этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается .
Функция f (x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: .
В этом определении предполагается, что b > a. Для других случаев примем, тоже по определению:
Если b=a, то ; если b < a, то .

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема по этому отрезку.
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек выполняется неравенство. Требование непрерывности f (x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [ a, b ] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f (x) неограничена на [ a, b ], то она неограничена на каком-либо[ x_i -1, x_i ], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).
Геометрический смысл определённого интеграла. Если f (x) >0 на отрезке [ a, b ], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).

Дата добавления: 2014-01-13