Теорема (свойство свободных переменных). Если свободным переменным системы придать произвольные значения , тогда

1. можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
2. если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.

Доказательство: Если значения свободных переменных подставить в систему, то получится:

То есть

является решением системы уравнений, так как после подстановки координат в эту систему получаются верные равенства. Поскольку у значения свободных переменных равны, соответственно, то – и есть искомое решение системы.

Следствие. Все решения системы получаются так же, как и решение .

Значения для свободных переменных можно выбирать бесконечным числом различных способов, поэтому система уравнений является неопределенной.

Разрешенная система уравнений совместна всегда. Она будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если число уравнений меньше числа неизвестных.

Контрольные вопросы к теме

1. Критерий Кронекера-Капелли.
2. Совместные и определенные системы линейных уравнений.
3. Методы решения систем линейных уравнений и условия их применимости.
4. Однородные системы линейных уравнений.
5. Свободные и разрешенные переменные.

Лекция 14. *Основы линейного программирования*

Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:

математическое программирование; система ограничений; целевая функция; задача линейного программирования; оптимальное решение; каноническая задача линейного программирования; дополнительная переменная; выпуклое множество; выпуклая линейная комбинация; замкнутое множество; угловая точка; линия уровня; опорная прямая; базисное решение; опорное решение; симплекс-метод; двойственная задача; объективно обусловленные оценки.

Дата добавления: 2014-01-13