Ряды Фурье четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл

,

где – функция, непрерывная или кусочно–непрерывная на отрезке .

Делая в первом интеграле подстановку , и учитывая независимость определенного интеграла от обозначения переменной интегрирования, получим

1. Пусть функция – четная, т.е. . Тогда

.

Таким образом, симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по половинному промежутку интегрирования.

1. Пусть функция – нечетная, т.е. . Тогда

Таким образом, симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Теорема.

1. Ряд Фурье четной периодической функции содержит только косинусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только четные гармоники, включая свободный член;
2. Ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только нечетные гармоники

Доказательство:

1. Пусть функция – четная и периодическая с периодом , а и – ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что – нечетные функции, имеем

Поэтому

,

где

.

1. Пусть функция – нечетная и периодическая с периодом , а и – ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что –четные функции, имеем

Поэтому

,

где

.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-13