Лекция 9. Графоаналитические методы ЛПР по выбору наилучшей альтернативы

P _ 2 p _ 2

S p

P 2 p 2

_

_ _

a = у - bх (8.9)

где х = хi/р – арифметическое среднее; _

у = уi/р – среднее значение переменных.

Точку на прямой регрессии, полученную по МНК, которая соответствует фактическому значению объясняющей переменой xi называется, рассчетным или теоритическим значением yi, соответствующим xi и имеющему вид:

~

yi = a + bxi (8.10)

Разность фактического и рассчетного значения Ui

~

Ui = yi – yi (8.11)

есть остаток – расчетное значение случайной ошибки, не подлежащей наблюдению, полученной по МНК.

Примечание. РУР в этом случае называют систему методов оценки параметров коэффициентов a и b на основе имеющихся наблюдений x и y.

МНК называют процедуру выбора таких значений параметров a и b, которые при подстановке р-пар значений переменных в выражение 8.7 минимизируют сумму регрессионных остатков имеющих вид:

S = å Ui = å [ yi – (a + bxi) ] Þ min (8.12)

i=1 i=1

Дифференцируя S в (8.12) по a и b и положив значения частных коэффициентов равными 0, получим систему уравнений:

¶S p

= -2 å (yi – a - bxi) = 0

¶a i=1 (8.13)

= - 2 å xi (yi – a - bxi) =0

¶b i=1

Степень приближения к экстремуму (адекватность регрессионной модели к реальному объекту) характеризуется коэффициентом детерминации.

R = å (yi – yi) / å (yi – yi) (8.14)

i=1 i=1

Положительное значение корня из коэффициента детерминации (8.14) называется коэффициентом корреляции.

В основу метода положены возможность графического отображения системы линейного уравнения в виде пересекающихся прямых, образующих область допустимых решений (ОДР). Эта область формируется на основе введенных ограничений, имеющих место в реальных задачах.

Особенностью графоаналитического метода является выбор альтернатив от пересечения прямых на координатной плоскости, будет иметь место всегда многоугольник, отображающий своей внутренней частью ОДР. Одна из вершин многоугольника будет всегда наилучшей по назначенному критерию.

Отыскание наилучшей альтернативы, отображенной в вершине многоугольника, производится путем введения произвольного управления пересекающей ОДР к которому необходимо построить вспомогательный перпендикуляр и направление этого перпендикуляра Вам укажет на вершину многоугольника из ОДР, являющейся оптимальной.

Возможно выбрать вершину многоугольника аналитическим решением системы управления и по этому решению на координатной плоскости найти оптимальную вершину ОДР. Изложенные правила в графоаналитическом методе позволяют решать задачу выбора ЛПР наилучшей альтернативы из их модельного ряда при размерности этих задач не выше трех.

Примечание.

Основным исходным фактором графоаналитического метода, дающим обозримый (простой) ответ о наилучшей альтернативе, является двухмерность задач.

Дата добавления: 2014-01-13