Телеграфные уравнения однородной длинной линий

Электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно, ток i = i (x, t) и напряжение u = u (x, t) рассматриваемой цепи являются функциями времени t и координаты x.

Составим на основе законов Кирхгофа дифференциальные уравнения для мгновенных напряжений и токов на отрезке линии длиной Δ x по эквивалентной схеме на рис. 6.2.

(6.1)

Разделив обе части уравнений (6.1) на Δ x, переходя к пределу при Δ x → 0 и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим дифференциальные уравнения линии

(6.2)

Эти уравнения в частных производных называются телеграфными, так как впервые были получены для линии телеграфной связи.

Пусть к началу линии подключен генератор гармонических колебаний e(t) = E_m cos(ω t + φ₀), а к концу линии – сопротивление нагрузки Z _H (рис. 6.1). Будем считать, что в линии имеет место режим установившихся гармонических колебаний.

Используя символический метод анализа гармонических колебаний, в котором

преобразуем уравнения (6.2) для мгновенных комплексных значений напряжения и тока

(6.3)

Здесь Z ₁ = R ₁ + j ω L ₁, Y ₁ = G _{1 +} j ω C ₁.

Заменим в (6.3) частную производную на полную, т.к. и не зависят от времени. Осуществим разделение переменных, т.е. выразим ток через напряжение, а напряжение через ток. Для этого продифференцируем первое уравнение по x и подставим в него второе уравнение. Получатся уравнения второго порядка

(6.4)

Введем обозначение Этот коэффициент называют коэффициентом распространения. Перепишем систему (6.4) в окончательном виде:

(6.5)

Уравнения (6.5) называются телеграфными уравнения однородной линии в комплексной форме. Они являются однородными, 2-го порядка, линейными (т.к. Z ₁ и Y ₁ не зависят от x).

Корни характеристического уравнения p ² – γ² = 0 системы (6.5) равны

Общее решение первого уравнения системы (6.5) для напряжения в произвольной точке x линии ищем в виде

. (6.6)

Из первого уравнения системы (6.3)

.

Введя еще одно обозначение

– волновое сопротивлении, (6.7)

запишем решение для тока в точке x в форме

. (6.8)

Постоянные интегрирования A ₁ и A ₂ можно найти из начальных условий:

при x = 0 Ú _x = Ú ₁ и Ì _x = Ì ₁, где Ú ₁ и Ì ₁ – напряжение и ток в начале линии. Тогда из (6.6 и 6.8) для x:

Ú ₁ = A ₁ + A ₂,

Ì ₁ Z _В = A ₁ – A ₂.

Откуда

A ₁ = (Ú ₁ + Ì ₁ Z _В)/2; (6.9)

A ₂ = (Ú ₁ – Ì ₁ Z _В)/2. (6.10)

Подстановка полученных значений постоянных интегрирования в (6.6, 6.8) дает следующие уравнения для определения напряжении Ú_x и тока Ì_x в произвольной точке x длинной линии

(6.11)

Выражения (6.11) называют уравнениями передачи длинной линии. Они позволяют рассмотреть распределение напряжений и токов в однородной длинной линии в произвольной точке x.

Дата добавления: 2014-01-13