Закон больших чисел

Ранее в параграфе 2.2. было отмечено, что относительная частота обладает устойчивостью, т.е. с ростом числа испытаний n она стабилизируется. Рассмотрим далее математическое обоснование этого факта, который широко используется на практике.

Лемма. Если Х – случайная величина, принимающая неотрицательные значения, то

Теорема 25 (Неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х при каждом положительном числе e имеет место неравенство

Теорема 26 (закон больших чисел в форме теоремы Чебышева). Если независимых случайных величин ограничены постоянной С, то для любого e > 0

где

Следствие. Если

Замечание. На этой теореме основан статистический выборочный метод, позволяющий по относительно небольшой выборке судить о всей генеральной совокупности объектов.

Следующая теорема носит название закона больших чисел по Бернулли (следствие теоремы Чебышева), и которая является обоснованием для статистического подхода к определению вероятности случайного события.

Теорема 27. Для любого e > 0 верно, что при неограниченном увеличении числа независимых испытаний где – относительная частота, а р – вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний.

Пример 42. Монету подбрасывают 100000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты от вероятности появления герба меньше чем на 0,01.

Решение: По теореме Бернулли где n = 100000 раз, Так как неравенство равносильно то вероятность отклонения от р меньше чем на 0,01 больше (ср. с примером 14).

Дата добавления: 2014-01-11