Марковский случайный процесс

Допущения о пуассоновском характере потока заявок и о пока­зательном распределении времени обслуживания ценны тем, что позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат так называемых марковских случайных процессов.

Процесс, протекающий в физической системе, называется мар­ковским (или процессом без последействия), если для каждого мо­мента времени вероятность любого состояния системы в бу­дущем зависит только от состояния системы в настоящий: момент (t₀) u не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние,

Рассмотрим элементарный пример марковского случайного про­цесса. По оси абсцисс Ох случайным образом перемещается точка X. В момент времени t = 0 точка X находится в начале координат (х = 0) и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета; если выпал герб — точка X перемещается на одну единицу длины вправо, если цифра — влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение, и т. д. Процесс изменения положения точки (или, как говорят, «блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем (t = 0, 1, 2,...,) и счетным множеством состояний

Схема возможных переходов для этого процесса показана на рис. 5.1.

Покажем, что этот процесс — марковский. Действительно, пред­ставим себе, что в какой-то момент времени t₀ система находится, например, в состоянии х_х —на одну единицу правее начала коорди­нат. Возможные положения точки через единицу времени будут х₀ и х₂ с вероятностями 1/2 и 1/2; через две единицы — x_-1, x₁, x₃ с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 и так далее. Очевидно, все эти ве­роятности зависят только от того, где находится точка в данный момент t₀, и совершенно не зависят от того, как она пришла туда.

Рис. 5.1.

Рассмотрим другой пример. Имеется техническое устройство X, состоящее из элементов (деталей) типов а и b, обладающих разной долговечностью. Эти элементы в случайные моменты времени и неза­висимо друг от друга могут выходить из строя. Исправная работа каждого элемента безусловно необходима для работы устройства в целом. Время безотказной работы элемента — случайная величина, распределенная по показательному закону; для элементов типа а и b параметры этого закона различны и равны соответственно _а и _ь. В случае отказа устройства немедленно принимаются меры для вы­явления причин и обнаруженный неисправный элемент немедленно заменяется новым. Время, потребное для восстановления (ремонта) устройства, распределено по показательному закону с параметром _а (если вышел из строя элемент типа а) и _b (если вышел из строя элемент типа b).

В данном примере случайный процесс, протекающий в системе, есть марковский процесс с непрерывным временем и конечным мно­жеством состояний:

х₀ —все элементы исправны, система работает,

х₁ —неисправен элемент типа а, система ремонтируется,

х₂ —неисправен элемент типа b, система ремонтируется.

Схема возможных переходов дана на рис. 5.2.

Действительно, процесс обладает марковским свойством. Пусть например, в момент t₀ система находится в состоянии х₀ (исправна). Так как время безотказной работы каждого элемента — показатель­ное, то момент отказа каждого элемента в будущем не зависит от того, сколько времени он уже работал (когда поставлен). Поэтому вероятность того, что в будущем система останется в состоянии х₀ или уйдет из него, не зависит от «предыстории» процесса. Пред­положим теперь, что в момент t₀ система находится в состоянии х₁ (неисправен элемент типа а). Так как время ремонта тоже показа­тельное, вероятность окончания ремонта в любое время после t₀ не зависит от того, когда начался ремонт и когда были поставлены остальные (исправные) элементы. Таким образом, процесс является марковским.

Заметим, что показательное распределение вре­мени работы элемента и показательное распреде­ление времени ремонта — существенные условия, без которых процесс не был бы марковским. Дей­ствительно, предположим, что время исправной работы элемента распределено не по показатель­ному закону, а по какому-нибудь другому — например, по закону равномерной плотности на участке (t₁, t₂). Это значит, что каждый элемент с гарантией работает время t_v а на участке от t₁ до t₂ может выйти из строя в любой момент с одина­ковой плотностью вероятности. Предположим, что в какой-то момент времени t₀ элемент работает исправно. Очевидно, вероятность того, что элемент выйдет из строя на каком-то участке времени в будущем, зависит от того, насколько давно поставлен элемент, т. е. зависит от предыстории, и процесс не будет марковским.

Рис. 5.2.

Аналогично обстоит дело и с временем ремонта Т_р; если оно не показательное и элемент в момент t₀ ремонтируется, то оставшееся время ремонта зависит от того, когда он начался; процесс снова не будет марковским.

Вообще показательное распределение играет особую роль в теории марковских случайных процессов с непрерывным временем. Легко убе­диться, что в стационарном марковском процессе время, в течение которого система остается в каком-либо состоянии, распределено всегда по показательному закону (с параметром, зависящим, вообще говоря, от этого состояния). Действительно, предположим, что в мо­мент t₀ система находится в состоянии x_k и до этого уже находилась в нем какое-то время. Согласно определению марковского процесса, вероятность любого события в будущем не зависит от предыстории; в частности, вероятность того, что система уйдет из состояния x_k в течение времени t, не должна зависеть от того, сколько времени система уже провела в этом состоянии. Следовательно, время пребы­вания системы в состоянии x_k должно быть распределено по показа­тельному закону.

В случае, когда процесс, протекающий в физической системе со счетным множеством состояний и непрерывным временем, является марковским, можно описать этот процесс с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний Составление и ре­шение таких уравнений мы продемонстрируем в следующей лекции на примере простейшей системы массового обслуживания.

Дата добавления: 2014-01-13