Оценка коэффициента корреляции и линейной регрессии

Пусть проводится n независимых опытов, в каждом из которых двухмерная случайная величина (Х,У) принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двухмерную выборку вида . Первичная обработка опытных данных включает в себя обработку составляющих Х и У как одномерных величин и вычисление оценок, присущих только двухмерным (многомерным) случайным величинам.

Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна

(54.22)

где - значения, которые приняли случайные величины X, Y в i-м опыте;

- средние значения случайных величин X и Y соответственно.

Состоятельная оценка коэффициента корреляции

(54.23)

Доверительный интервал с надежностью для коэффициента корреляции и случая двухмерного нормального распределения

(54.24)

где

- значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2).

Алгоритм проверки гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости следующий (предполагается, что двухмерная случайная величина (X,Y) распределена по нормальному закону).

1. Формулируется гипотеза:

Здесь - теоретический коэффициент корреляции.

2. Вычисляется оценка коэффициента корреляции по формуле (54.23).

3. Определяется значение критерия

(54.25)

который распределен по закону Стьюдента с (n – 2) степенями свободы, если гипотеза верна.

4. По заданному уровню значимости вычисляется доверительная вероятность и из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение .

5. Если , то гипотеза отклоняется, а следовательно, величины X,Y коррелированы. В противном случае гипотеза принимается.

Регрессией случайной величины Y на X называется условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что:

Регрессия Y на X устанавливает зависимость среднего значения величины Y от величины X. Если X и Y независимы, то

Если величины X,Y распределены по нормальному закону, то регрессия является линейной:

Оценки параметров и по методу наименьших квадратов вычисляются по следующим формулам:

(54.26)

(54.27)

где – оценки математического ожидания величин X и Y;

– оценка дисперсии величины X;

– оценки корреляционного момента величин X и Y.

Для визуальной проверки правильности вычисления величин , ,необходимо построить диаграмму рассеивания и график (рис. 54.5).

Рис. 54.5

Если оценки параметров рассчитаны без грубых ошибок, то сумма квадратов отклонений всех точек от прямой должна быть минимально возможной.

Пример 54.10. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, . Найти 90%-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции .

Решение. Из таблицы Лапласа выбирается значение . Тогда

Доверительный интервал вычисляем по формуле (54.24).

т.е.

Пример 54.11. Проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости при следующих данных: . Предполагается также, что двухмерный закон распределения – нормальный.

Решение. Вначале вычислим значение критерия t по формуле (54.25)

Из таблицы Стьюдента выбираем критическое значение . Так как , то гипотеза принимается, потому что нет оснований ее отклонить.

Дата добавления: 2014-01-13