Ограничения, налагаемые связями

2.1. Возможные положения, скорости и ускорения. Пусть на систему наложены голономные и неголономные связи вида (1.3.3), (1.3.4) соответственно.

Определение 1. Набор векторов , удовлетворяющий уравнениям (1.3.3) при , назовем возможным положением системы в момент времени .

Продифференцируем (7) по времени. В результате получим

. (1)

Определение 2. Совокупность векторов , удовлетворяющих уравнениям (1.3.4), (1) в момент времени и при , назовем возможными скоростями системы в момент времени в возможном положении .

Продифференцируем равенства (1.3.4) и (1) по времени. В результате получим

,

(2)

Определение 3. Совокупность векторов , удовлетворяющих уравнениям (1), (2) в момент времени и при

,

назовем возможными ускорениями системы в момент времени , в возможном положении для возможных скоростей .

Аналогичным образом можно определить «возможные» производные высших порядков радиус-векторов точек системы в фиксированный момент времени.

2.2. Возможные и действительные перемещения. Рассмотрим два близких момента времени и . Пусть возможные положения системы в эти моменты времени.

Определение 4. Набор векторов

будем называть возможным перемещением системы.

Возможное перемещение системы можно получить, полагая

. (1)

Здесь - допустимые скорости для допустимого положения в момент времени ; - допустимые ускорения для допустимого положения и допустимых скоростей в момент времени , и т. д.

Перебирая все «возможные» скорости, ускорения и производные радиус-векторов ее точек высших порядков, из формулы (1) получим всю совокупность «возможных» перемещений системы из начального допустимого положения. Заметим, что действительное положение системы, действительные скорости, ускорения, а также производные радиус-векторов ее точек высших порядков принадлежат числу возможных. Тогда, как видно из (1), действительное перемещение системы принадлежит числу возможных перемещений.

Действительные перемещения будем обозначать символом , , а приращение времени - .

Выведем условия, которым должны удовлетворять возможные перемещения системы. Ограничиваясь в разложении (1) только членами первого порядка. В результате придем к равенствам

. (2)

В равенствах (1.1) и (1.3.4) полагаем и умножаем их на . Имеем

,

. (3)

Символ «» в обозначении функции означает, что ее аргументом является набор .

2.3. Виртуальные перемещения. Пусть - возможное положение системы.

Определение 5. Виртуальным перемещением системы называется совокупность величин , удовлетворяющая условиям

,

.

Виртуальных перемещений бесконечно много. Виртуальные перемещения, вообще говоря, не являются возможными и совпадают с ними тогда и только тогда, когда связи стационарны. В последнем случае к виртуальным перемещениям принадлежат и действительные перемещения.

Геометрический смысл виртуальных перемещений состоит в том, что система перемещаются в соответствие со связями, замороженными во времени. Виртуальные перемещения еще называют синхронными вариациями, т.е. вариациями, при фиксированном времени. Векторному виртуальному перемещению соответствует тройка скалярных виртуальных перемещений .

2.4. Варьирование по Журдену и Гауссу. Пусть - возможное положение системы. Рассмотрим две совокупности возможных перемещений

, (1)

(2)

при одинаковых значениях . Вычтем из равенства (1) равенство (2). В результате получим

. (3)

Обозначим

.

и перепишем равенство (3) в виде

. (4)

Пусть . Величины из (4) в этом случае будем называть вариациями по Журдену. Покажем, что вариации по Журдену являются синхронными вариациями. Действительно, приблизительно

. (5)

В силу определения допустимых скоростей справедливы равенства

, , (6)

, . (7)

Из равенств (6) вычтем соответствующие равенства (7). С учетом введенных обозначений получим

, .

В силу (5) из последних соотношений вытекает

, ,

что и означает искомое.

Пусть теперь . Величины из (4) в этом случае будем называть вариациями по Гауссу. Покажем, что вариации по Гауссу являются синхронными вариациями. Действительно, для вариаций по Гауссу приблизительно

(8)

Из определения допустимых ускорений следует

, (9)

, (10)

Из равенств (9) вычтем соответствующие равенства (10). С учетом введенных обозначений получим

, .

В силу (5) из последних соотношений вытекает

, ,

что и означает искомое.

Дата добавления: 2014-01-13