Граничные условия для векторов электромагнитного поля

Формах

Макроскопическая теория электромагнетизма основывается на уравнениях Максвелла, которые связывают между собой источники и векторы электромагнитного поля.

Основные законы электричества и магнетизма, кроме закона Фарадея, были получены при наблюдении стационарных полей. С логической точки зрения, априори не следует, что они остаются неизменными для полей, зависящих от времени. Поэтому так велика заслуга Максвелла, который обобщил полученные до него экспериментальные закономерности на случай произвольного электромагнитного поля в произвольной среде, введя всего лишь одно дополнительное слагаемое в закон, открытый Ампером.

Система уравнений электромагнитного поля была постулирована Максвеллом, т.е. введена в теорию аксиоматически. В любой физической теории аксиомами считаются те фундаментальные соотношения, из которых путем лишь математических преобразований выводятся остальные свойства изучаемых объектов. Необъятное количество экспериментальных фактов, полученных после введения этих уравнений, не оставляют сомнений в их правильности, так как выводы электромагнитной теории находятся в неизменном соответствии с результатами опыта и практической деятельности.

Различают уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах (см. табл. 1.1). Уравнения Максвелла в дифференциальной форме уста­навливают связь между векторами и источниками электромагнитного поля в каждой точке пространства, а уравнения в интегральной форме связывают меж­ду собой источники и интегральные характеристики (потоки, циркуляции) электромагнитных полей. Переход от одной формы уравнений к другой осуществ­ляется простыми математическими преобразованиями (см. Приложение А).

Таблица 1.1 – Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме	Уравнения Максвелла в интегральной форме
Первое уравнение Максвелла – закон полного тока Ампера-Максвелла
	(I)
Второе уравнение Максвелла – закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла
	(II)
Третье уравнение Максвелла – обобщенная теорема Гаусса
	(III)
Четвертое уравнение Максвелла – закон непрерывности магнитного потока
	(IV)

Поясним физический смысл уравнений Максвелла.

Закон полного тока. Из закона пол­ного тока в дифференциальной форме сле­дует, что вихри магнитного поля возникают только в тех точках пространст­ва, где имеется либо объемная плотность тока про­водимости , либо перемен­ное во вре­мени электрическое поле . Мож­но сказать иначе. Перемен­ное во времени электрическое поле возбуждает также, как и переменный ток проводимости, переменное во времени магнитное вихревое поле.

Из закона полного тока в интегральной форме следует, что цирку­ляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна полному току, протекающему через любую поверхность, опирающуюся на этот контур (рис. 1.1).

При этом полным током называется величина, равная:

. (1.12)

Соответственно объемная плотность полного тока равна:

. (1.13)

Величину, определяемую соотношением

, (1.14)

принято называть объемной плотностью тока смещения. Из определения вектора следует, что плотность тока смещения определяется движением (смещением) электрических зарядов, связанных в молекулах вещества, и изменением электрического поля в вакууме. Отметим, что закон полного тока был предложен Максвеллом путем обобщения закона Ампера (добавления в правую часть закона Ампера тока смещения) на случай полей, меняющихся во времени по произвольному закону.

Закон электромагнитной индукции. Из закона электромагнитной индук­ции в дифференциальной форме следует, что вихри электрического поля воз­никают в тех точках пространства, где имеется переменное во времени магнит­ное поле . Другими словами, переменное во времени магнитное поле возбуждает переменное во времени вихревое электрическое поле.

Из закона электромагнитной индукции в интегральной форме следует, что циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока, пронизывающего любую поверхность S, опирающуюся на этот контур.

Следует отметить существенную разницу в использовании одного и того же термина контур. В формулировке Фарадея контур – это замкнутая цепь, составленная из проводников. Максвелл обобщил закон Фарадея, понимая под контуром замкнутую линию, произвольно расположенную в пространстве.

Теорема Гаусса. Cоотношение (III) в интегральной форме известно из электростатики, как теорема Гаусса, и обобщено Максвеллом на случай полей, произвольно зависящих от времени. Оно устанавливает, что электрические заряды служат истоками и стоками электрического поля; линии вектора электрической индукции выходят из областей, содержащих положительные заряды и входят в области, где находятся отрицательные заряды.

Из теоремы Гаусса в дифференциальной форме следует, что силовые линии вектора электрического смещения начинаются (заканчиваются) в тех точках пространства, где имеется электрический заряд с объемной плотностью ρ. Точки, в которых силовые линии начинаются (ρ > 0), называются истоками вектора электрического смещения, а точки, в которых силовые линии заканчиваются (ρ < 0), называются стоками того же вектора.

Из теоремы Гаусса в интегральной форме следует, что поток вектора через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных в объеме V, ограниченном этой поверхностью.

Закон непрерывности магнитного потока. Из четвертого уравнения Максвелла в дифференциальной форме следует, что магнитное поле не имеет ни истоков, ни стоков. Отсюда следует, что силовые линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты (поле соленоидально).

Из четвертого уравнения Максвелла в интегральной форме следует, что поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность S всегда равен нулю.

Из уравнений Максвелла можно сделать вывод, что только в случае статических полей, создаваемых неподвижными и неизменными во времени зарядами, электрические и магнитные поля являются независимыми.

В общем случае, когда заряды меняются во времени, электрические и магнитные поля связаны между собой: наличие переменного электрического поля невозможно без существования переменного вихревого магнитного поля и, наоборот.

При решении конкретных задач электродинамики в уравнения Максвелла вводятся сторонние заряды и сторонние токи , которые являются первопричиной возбуждения электромагнитного поля. Задание сторонних источников производится добавлением в правые части уравнений (I) и (III) соответствующих слагаемых. При этом уравнения Максвелла в дифференциальной форме принимают следующий вид:

, (1.15)

, (1.16)

, (1.17)

. (1.18)

С формальной математической точки зрения уравнения (1.15) – (1.18) являются системой векторно-дифференциальных уравнений для определения векторов электромагнитного поля по заданным и . Система уравнений (1.15) – (1.18) совместно с материальными уравнениями (1.9) – (1.11) является математически полной и позволяет ставить и решать конкретные задачи электродинамики. Используя совместно материальные уравнения и уравнения (1.15) – (1.18), можно получить векторные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют каждый из векторов и . В случае однородной изотропной среды без потерь эти уравнения для декартовой системы координат имеют следующий вид:

, (1.19)

, (1.20)

где – оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид:

.

Поверхности физических тел являются границами, разделяющими среды с разными свойствами. В рамках макроскопической электродинамики принято считать, что при переходе через эти поверхности параметры сред меняются скачком. Такие поверхности называются границами раздела.

Согласно уравнениям Максвелла при этом неизбежно испытывают скачки некоторые векторы поля. Для решения задач электродинамики, помимо уравнений Максвелла, необходимо знать граничные условия – соотношения между векторами в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны границы раздела двух сред. Граничные условия являются следствием уравнений Максвелла в интегральной форме.

Пусть достаточно гладкая поверхность разделяет две среды, в каждой из которых параметры либо постоянны, либо меняются медленно от точки к точке. Тогда в малой окрестности любой точки на поверхности S можно считать границу плоской, а параметры сред – неизменными. Таким образом, из рассмотрения исключаются точки, лежащие вблизи изломов и резких изгибов границы или в области быстрого изменения параметров хотя бы одной из сред.

Рассмотрим некоторую поверхность S, разделяющую две среды с параметрами и (рис. 1.2).

В каждой точке поверхности S можно провести касательную плоскость P и три единичных вектора: – нормаль, направленная из второй среды в первую; – векторы, лежащие в плоскости Р (касательные к границе раздела). При этом будем считать, что .

Рисунок 1.2 – Две среды, разделенные поверхностью S

Используя уравнения Максвелла в интегральной форме, можно показать (см. Приложение В), что на поверхности S выполняются следующие равенства:

(1.21)

. (1.22)

Соотношения (1.21) называют граничными условиями в векторной, а соотношения (1.22) – в скалярной форме. Из этих соотношений следует, что касательные составляющие Е _1τ и Е _2τ вектора и нормальные составляющие В _{1 n} и В _{2 n} вектора при переходе через границу раздела сред всегда непрерывны. Касательные составляющие Н _1τ и Н _2τ вектора и нормальные составляющие D _{1 n} и D _{2 n} вектора непрерывны только в том случае, если на границе раздела сред отсутствуют соответственно ток с поверхностной плотностью и заряды с поверхностной плотностью .

Пусть одна из сред, например, вторая является идеальным проводником. Из уравнений Максвелла следует, что в идеальном проводнике (s = ¥) электромагнитное поле отсутствует. Учитывая этот факт и соотношения (1.21) получаем, что на поверхности идеального проводника граничные условия имеют следующий вид:

, .

Из последних соотношений следует, что силовые линии вектора всегда перпендикулярны, а силовые линии вектора всегда касательные к поверхности идеального проводника.

Используя граничные условия (1.21), (1.22) и материальные уравнения (1.9), (1.10), можно записать граничные условия для касательных составляющих векторов и и нормальных составляющих векторов и .

1.6. Метод комплексных амплитуд

Все реальные электромагнитные процессы можно представить в виде суммы дискретных гармонических колебаний или непрерывного спектра этих колебаний. Поэтому изучают поля при гармонических воздействиях. Такие поля называют монохроматическими (одноцветными).

Рассмотрим некоторый гармонический процесс, который характеризуется следующей функцией Y(t):

Y(t) = Ψ _m cos(w t + j), (1.23)

где w = 2p/ Т – угловая частота; j – начальная фаза; Ψ _m – амплитуда гармонического процесса.

В соответствии с методом комплексных амплитуд вместо действительной функции Y(t), меняющейся во времени по гармоническому закону, рассматривается комплексная функция следующего вида:

, (1.24)

где – мнимая единица;– комплексная амплитуда функции Y(t). Если комплексная амплитуда известна, то

. (1.25)

Вычислим производную по времени от функции .

.

Из последней формулы видно, что операция дифференцирования над комплексной функцией заменяется умножением на i w.

Из формул (1.24) и (1.25) видно, что в комплексной амплитуде зак­лючена вся информация об амплитуде и начальной фазе действительной функ­ции Y(t). Если к тому же известна частота гармонического процесса, то фор­мула (1.25) позволяет легко определить действительную функцию Y(t). Отсюда следует, что при решении конкретных (линейных) задач электродинамики можно рассматривать комплексные функции вида (1.24). При этом сам процесс решения задач существенно упрощается, так как операция дифференцирования над комплексной функцией заменяется умножением на i w.

Изложенное выше остается справедливым и для векторного случая.

Рассмотрим гармонический процесс, который характеризуется векторной гармонической функцией следующего вида:

, (1.26)

где j_x, j_y j_z – начальные фазы, а A_xm, A_ym, A_xm – амплитуды соответствующих проекций вектора .

В соответствии с методом комплексных амплитуд рассмотрим комплексный вектор:

,

где

(1.27)

называется комплексной амплитудой векторной гармонической функции (1.26).

Отметим, что в формуле (1.27) .

Для векторной гармонической функции также имеют место следующие соотношения:

, (1.28)

. (1.29)

Отметим еще раз, что решение задач электродинамики для монохроматических полей значительно упрощается при использовании комплексных векторов. Это упрощение, как уже отмечалось, связано с наличием формулы (1.29).

Дата добавления: 2014-01-13