Наилучшее приближение функции, заданной таблично

Пусть значения функции и функции , из системы (2.30) известны в точках , . Если , то задача интерполирования становится неопределенной. В этом случае можно рассматривать задачу о наилучшем приближении, которая формулируется следующим образом.

Введем обобщенный многочлен (2.32) и будем рассматривать его значения только в узлах , т.е.

, .

Образуем разности

, ,

характеризующие отклонение в узлах точного значения функции от ее приближенного значения, полученного с помощью обобщенного многочлена (2.32). Для вектора погрешностей можно ввести ту или иную норму, например,

, (2.35)

или

. (2.36)

Задача о наилучшем приближении функции , заданной таблично, состоит в нахождении коэффициентов , минимизирующих норму вектора . В зависимости от выбора нормы получим различные задачи. Так, норме (2.35) соответствует задача о наилучшем среднеквадратичном приближении, а норме (2.36) – задача о наилучшем равномерном приближении функции, заданной таблично.

Если , то независимо от выбора нормы решение задачи о наилучшем приближении совпадает с решением задачи интерполирования. Действительно, в этом случае требование приводит к условиям , , т.е. к задаче интерполирования.

Пример. Построить наилучшее среднеквадратичное приближение для случая , , когда заданы значения , .

Решение. Обозначим , и будем искать обобщенный многочлен в виде . Тогда для получим, что , где

. (2.37)

Точка минимума функции находится из условий

, (2.38)

откуда при условии получаем

, . (2.39)

Погрешность полученного приближения равна

,

где .

Дата добавления: 2014-01-13