Примеры численных методов

Существуют две группы численных методов решения задачи Коши: многошаговые разностные методы и методы Рунге-Кутта.

Рассмотрим уравнение

, . . (8.4)

Введем по переменному равномерную сетку с шагом , т.е. рассмотрим множество точек

.

Будем обозначать через точное решение задачи (8.4), а через приближенное решение. Заметим, что приближенное решение является сеточной функцией, т.е. определено только в точках сетки .

Пример 1. Метод Эйлера. Уравнение (8.4) заменяется разностным уравнением

, , . (8.5)

Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле

, , .

При использовании приближенных методов решения основным является вопрос о сходимости. Понятие сходимости приближенного метода. Применительно к данному случаю наибольшее распространение получило понятие сходимости при . Оно означает следующее. Фиксируем точку и построим последовательность сеток таких, что и (тогда необходимо ). Говорят, что метод (8.5) сходится в точке , если при , .

Метод сходится на отрезке , если он сходится в каждой точке .

Говорят, что метод имеет -й порядок точности, если существует число такое, что при .

Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность метода . Подставляя в (8.5), получим

. (8.6)

Правую часть уравнения (8.6) можно представить в виде суммы , где

,

.

Функция называется невязкой или погрешностью аппроксимации разностного уравнения (8.5) на решении исходного уравнения (8.4). Видно, что невязка представляет собой результат подстановки точного решения в левую часть разностного уравнения (8.5). Если бы приближенное решение совпало с точным решением , то невязка равнялась бы нулю. Говорят, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, если при . Разностный метод имеет -й порядок аппроксимации, если . Оказывается, что при очень общих предположениях порядок точности разностного метода совпадает с порядком погрешности аппроксимации или просто с порядком аппроксимации.

Функция

обращается в нуль, если правая часть не зависит от решения . В общем случае пропорциональна погрешности , так как по формуле конечных приращений имеем

, .

Порядок аппроксимации метода Эйлера нетрудно найти, используя разложение по формуле Тейлора. Поскольку

,

то

,

т.е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации.

Пример 2. Симметричная схема. Метод Эйлера с коррекцией. Уравнение (8.4) заменяется разностным уравнением

, , . (8.7)

Данный метод более сложен в реализации, нежели метод Эйлера (8.5), так как новое значение определяется по найденному ранее решению путем решения уравнения

,

где . По этой причине метод называется неявным. Преимуществом данного метода является его более высокий порядок точности по сравнению с предыдущим.

В методе Эйлера с коррекцией прогнозное значение , а, следовательно, и в формуле (8.7) предлагается определять по формуле Эйлера:

.

Таким образом, метод Эйлера с коррекцией становится явным или условно неявным (дом. зад №1, найти порядок аппроксимации метода Эйлера с коррекцией).

В случае симметричной схемы, для невязки

справедливо разложение

т.е. . Таким образом, метод (8.7) имеет второй порядок аппроксимации, а, следовательно, и второй порядок точности.

Приведенные примеры представляют собой простейшие случаи разностных методов или разностных схем. Методы Рунге-Кутта отличаются от разностных методов тем, что в них допускается вычисление правых частей не только в точках сетки, но и в некоторых промежуточных точках.

Пример 3. Метод Рунге-Кутта второго порядка точности. Предположим, что приближенное значение решения исходной задачи в момент уже известно. Для нахождения поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера

, (8.8)

вычислим промежуточное значение , а затем воспользуемся разностным уравнением

, (8.9)

из которого явным образом найдем искомое значение .

Для исследования невязки подставим промежуточное значение , где , в уравнение (8.9). Тогда получим

, (8.10)

невязка которого равна

. (8.11)

Имеем

,

так как в силу (8.4) справедливо равенство

.

Таким образом, метод (8.10) имеет второй порядок погрешности аппроксимации, , и в отличие от (7) является явным.

Реализация метода (8.7) в виде двух этапов (8.8) и (8.9) называется методом предиктор-корректор (предсказывающе-исправляющим), поскольку на первом этапе (8.8) приближенное значение предсказывается с невысокой точностью , а на втором этапе (8.9) это предсказанное значение исправляется, так что результирующая погрешность имеет второй порядок по .

Тот же самый метод (8.10) можно реализовать несколько иначе. А именно, сначала вычислим последовательно функции

а затем найдем из уравнения .

Такая форма реализации метода (8.10) называется методом Рунге-Кутта. Поскольку требуется вычислить две промежуточные функции и , данный метод относится к двухэтапным методам. Существуют более общие -этапные методы Рунге-Кутта, позволяющие получить большую точность.

Дата добавления: 2014-01-13