Общие вопросы организации циклов

Выше были рассмотрены примеры циклических алгоритмов, которые часто встречаются в практике. Прежде чем перейти к особенностям орга-низации циклических процессов, рассмотрим ещё один типичный пример.

Пример 1.9. Пусть СП вычисления EXP в нашем распоряжении нет, и нам самим требуется составить соответствующий алгоритм. Запишем разложение exp(- x) в ряд Тейлора, ограничившись n -м членом:

(1.15)

Обозначим h_i общий член ряда:

(1.16)

Тогда ряд (1.15) может быть представлен выражением

(1.17)

Вычисления h_i можно проводить двояко:

· непосредственно по (1.16);

· используя рекуррентную связь между значениями h, индексы которых отличаются на единицу.

В первом случае необходимо для каждого следующего члена ряда проводить все вычисления как для степени, так и для факториала; во втором случае вычисления проводятся с использованием предыдущих результатов по формуле

. (1.18)

Ясно, что второй способ более рациональный.

При вычислении суммы ряда (1.17) также более рационально использовать предыдущие результаты:

, (1.19)

где S_i - значение частичной суммы членов ряда с 1-го по i -й включительно.

Нетрудно видеть, что при определении значения y =exp(- x) для конкретного значения x = x₀ достаточно организовать один цикл, в котором объединить вычисления значений h_i и S_i.

В общем случае представления функции рядом она может быть записана как

y_n = , (1.20)

где q_i - коэффициенты разложения функции в ряд.

При вычислении значений рядов возможны два варианта организации вычислительного процесса (точнее, определения момента его окончания):

* n задано или известно в результате анализа погрешности ряда (константа n – исходное данное). Чаще всего это бывает, если опреде-ляется значение функции для одного конкретного значения x=x₀ или небольшого числа мало отличающихся (в том смысле, что для них n не изменяется) значений x. Тогда организуются циклические вычисления, которые заканчиваются при достижении параметром i цикла значения n;

* n заранее неизвестно, однако задана допустимая погрешность e, и циклический процесс заканчивается по условию выполнения неравенства

ç y_n+1-y_n ÷ £ e, (1.21)

или

ç R_n (x) ç£ e, (1.22)

где R_n (x) - остаточный член ряда (константа R_n вычисляется заранее).

В примере 1.9 ряд является знакопеременным, поэтому [4] погрешность ряда не превышает значения первого отброшенного его члена, равного

R_n (x) (1.23)

Вычислительный процесс организуется по-разному в случае вычис-ления у=f(x) для конкретного значения x = x₀ и для некоторого множества значений x_i (например, необходимо построить график у=f(x), а £ х £ в). В пер-вом случае вычисление выполняется однократно и потому нет необходи-мости в дополнительной организации вычислительного процесса; во втором случае необходимо организовать циклический перебор всех значений x_i, используя номера i -x точек на оси ОХ при неравномерном разбиении отрезка [a, b] либо приращение по х,

(1.24)

при равномерном разбиении на к интервалов (к - известно), и тогда

x_i = a + i*Dx. (1.25)

Отметим, что полином Q_n (x) может быть записан аналогично (1.20). Однако ряд и полином существенно отличаются: ряд имеет общий член, так как коэффициенты ряда вычисляются по определённому закону, а у полинома коэффициенты могут быть произвольными, поэтому у него может отсутствовать общий член. Вопрос определения n для полинома должен решаться отдельно в каждом конкретном случае.

Итак, видно, что циклический процесс заканчивается по-разному, в зависимости от того, известно либо нет число повторений в цикле: в первом случае цикл заканчивается, если вычисления в теле цикла прове-дены для всех значений параметра цикла, а во втором - если выполнено условие завершения цикла.

Стандартные способы построения циклов в программировании – использование конструкций for, while <условие> do <оператор>, repeat <оператор> until <условие> (рис. 1.15).

Оператор for имеет внутренний счётчик в обоих вариантах реали-зации (I_нач, I_кон - целые константы):

for I:= I_нач to I_кон do <оператор> - счёт в прямом направлении;

for I:= I_кон downto I_нач do <оператор> - счёт в обратном направлении.

Здесь изменение параметра цикла происходит на 1 по умолчанию; в некоторых языках программирования используется явное указание на шаг (step) приращения DI.

Применять оператор for целесообразно при известном числе повторений в цикле.

На рис. 1.15,а и б приведены фрагменты СА для оператора for; здесь S1, S2 - тело цикла.

Запишем фрагмент программы примера 1.6 (строки 3-9) с использо-ванием оператора for (здесь invel(lel, rel) - процедура инверсии элементов):

с:=А[1];

for i:=1 to n -1 do

Дата добавления: 2014-01-14