Системы координат и их преобразования

Прежде, чем перейти к написанию уравнений рассмотрим внимательно системы координат и их преобразования.

Описание движения всей механической системы в целом осуществляется в неподвижной инерциальной системе координат (НСК), связанной с Землей, стойкой или даже центром Земли в зависимости от решаемой задачи (рис. 6_а и 6_б). Это прямоугольная правая Декартова система координат.

а)

б)

Рис.6 Связи систем координат.

а) последовательность поворотов при преобразовании системы координат;

б) проекции на оси для основной и преобразованной систем координат.

С каждым звеном связана местная система координат (МСК), в которой координаты точек звена неизменны. МСК является связной(подвижной) прямоугольной правой системой координат. Ее разновидности называют поточной (самолетной, корабельной) системой координат. Угловое положение МСК в пространстве по отношению к осям НСК характеризуется углами: рыскания y(Х4) – поворот вокруг оси У, тангажа n (Х5) - поворот вокруг повернутой оси Z, крена g (Х6) – поворот вокруг повернутой оси Х.

Преобразование координат местной системы в неподвижную систему и обратно осуществляется тензорным преобразованием.

,

Вектор содержит три координаты точки М в НСК X,Y,Z (X_1M,X_2M,X_3M);

Вектор содержит три координаты точки М в МСК x,y,z (x_1M,x_2M,x_3M);

Вектор содержит три координаты начала местной системы координат в НСК X,Y,Z (X₁₀,X₂₀,X₃₀);

В случае, если координаты начала местной системы координат заданы в МСК (x₀,y₀,z₀) преобразование координат имеет следующий вид:

;

Тензор преобразования координат представляется матрицей, образуемой произведением преобразований трех поворотов: вокруг осей Х₂(y), х₃(n), х₁(g).

Преобразование из НСК в МСК осуществляется матрицей [A₀]

,

обратное преобразование из МСК в НСК – обратной матрицей [A₀]^-1, совпадающей с транспонированной матрицей [A₀]^т.

При движении кораблей, транспортных систем часто используется тензор преобразования в малых углах, при которых Sin j»j,а cos j»1.

Тогда матрица [A₀] приобретает простой вид

;

Преобразование скорости движения (временных изменений координат) осуществляется в соответствии с правилами дифференцирования матриц преобразования.

Для движения в одной плоскости, типичного для описания движения механизмов, преобразования выглядят в следующем виде

Кроме двух рассмотренных основных систем координат используются дополнительные системы координат, обеспечивающие удобство описания отдельных операций или преобразований (см. рис. 7)

На рисунке 7 показаны:

неподвижная система координат ХОУ;

местные системы координат звеньев 1(х₁о₁у₁), 2(х₂о₂у₂),3(х₃о₃у₃);

смещенные системы координат(ССК) – неподвижная для звена 3(x₃z₃) и подвижная (поворачивающаяся) для звена 4 (x₄z₄);

естественная система координат(ЕСК) в точке контакта 8 звена 7(t₈n₈);

система осей податливости звена (СОП) 2 (u₂v₂).

В смещенных системах координат движение звена описывается наиболее просто. Она формируется таким образом, чтобы учесть имеющиеся ограничения и связи. Это сокращает количество уравнений для описания движения.

Естественная система координат строится на векторах касательной и нормали в точке контакта сложных поверхностей. В этих направлениях ориентируются реакция в точке контакта двух тел и сила трения при их проскальзывании.

Система осей податливости строится таким образом, чтобы обеспечить удобство вычисления деформаций (податливости) при подготовке исходных данных для расчета.

Преобразования систем координат проводится по изложенным выше правилам.

Рис.7 Системы координат механизма

Дата добавления: 2014-01-14