Построение уравнений квазиравновесия

Формализуем процесс формирования уравнений, обеспечив единообразие их формирования.

Реакции в кинематических парах ориентируем по осям различных систем координат:

¾ в шарнире - по осям НСК;

¾ в ползуне - по осям МСК звена-ползуна;

¾ в высшей кинематической паре типа копир - по осям ЕСК в точке контакта.

В качестве оси поворота для записи уравнения момента примем центр МСК звена.

Силы проектируются на оси НСК.

В кинематической паре реакции, приложенные к взаимодействующим звеньям, равны и противоположны по знаку.

Направление реакций выбирается по направлениям осей одной из систем координат.

Для реакций в КП типа «шарнир», как правило, выбираются направления осей НСК. Для реакций в КП типа «ползун» направления осей МСК перемещающейся части КП («ползуна») или ССК вдоль направляющей КП. Для реакций в КП типа «копир» направления осей ЕСК с центром в точке контакта. Положительное направление реакций принимается для кинематической пары звена с меньшим номером (L<N).

Реакции каждой кинематической пары образуют в системе уравнений клетку следующего вида:

Если компоненты реакций заданы в НСК

Если компоненты реакций заданы в МСК звена L

Если компоненты реакций заданы в некоторой другой системе координат (например, ЕСК точки контакта K звена L),

L - № звена, в котором записывается система уравнений,

N - № взаимодействующего звена,

j_L - угол поворота местной системы координат звена L,

g_k - угол поворота дополнительной системы координат (ЕСК в точке контакта кинематической пары) относительно МСК L- звена.

Силы трения F_тр, действующие в кинематических парах, принимаются в соответствии с законом Кулона F_тр = fN, где N - сила нормального давления в кинематической паре, f - коэффициент трения в контакте. Нередко сила нормального давления в кинематической паре является нелинейной функцией реакций в кинематической паре, что вызывает сложности при решении уравнений квазиравновесия. Вместе с тем, коэффициент трения обычно значительно меньше 1. Поэтому, как правило, нормальная реакция определяется по результатам расчетов на предшествующем шаге интегрирования, и силы трения включаются в правую часть уравнений равновесия как известные величины. Направление действия силы трения всегда противоположно направлению движения.

Силы трения определяются в зависимости от типа кинематической пары следующим образом:

для шарнира звена L

для ползуна звена L

для контакта по копиру звена L

где T_з,T_x,T_t - составляющие сил трения, ориентированные по соответствующим осям;

R_X, R_Y, R_y,R_j,R_n - реакции в кинематических парах, ориентированные по соответствуюшим осям;

d - диаметр шарнира,

b - расстояние между точками опоры ползуна в направляющей,

- относительная скорость движения в контакте.

При учете сил трения надо иметь ввиду такую особенность, что сила трения покоя не является источником движения и нарастает до своей максимальной величины по мере увеличения действующей внешней силы, уравновешивая ее до момента страгивания (см. рис. 9).

Рис.9 Характер действия силы трения

Для записи уравнений квазиравновесия в упругом звене применяется метод РОЗУ (разрежем, отбросим, заменим, уравновесим).

В уравнениях упругого звена записывается дополнительное количество уравнений, уравновешивающих разрезанные части, равное числу степеней свободы упругого звена. В уравнениях равновесия значение упругой силы указывается в правой части. Чтобы выполнить это условие реакции в кинематических парах упругого звена проецируются на направление координат упругой силы.

Например, для звена, изображенного на рисунке

Рассмотрим, как строятся уравнения квазиравновесия на примере механизма досылателя.

Схема механизма приведена на рис.10.

Рис.10. Расчетная схема механизма (действующие силы и реакции).

Нумерацию кинематических пар рекомендуется осуществлять в последовательности взаимодействующих звеньев, сначала центры МСК звеньев, а затем другие кинематические пары.

Кинематические пары 1, 2, 3, 4, 7 представляют собой шарниры.

Реакции в них ориентированы по осям НСК.

КП 6 - высшая кинематическая пара копирного типа.

Реакция ориентирована по нормали в точке контакта,

сила трения Т - по касательной.

Упругое звено 5 соединяет звено 4 с массивным звеном, на которое воздействует реактивный момент инерционной силы R₅₃. Упругое звено соединяет две параллельные плоскости. Упругая сила ориентирована по моментной составляющей.

Силы трения определяются по формулам:

Упругая сила Р_у определяется величиной деформации и скорости деформации упругого звена.

Расставляя неизвестные реакции и формируя правые части, получим следующую систему уравнений квазиравновесия (см. табл.1).

Система уравнений квазиравновесия Таблица 1

R11

R12

R13

R62

R21

R22

R31

R32

R71

R72

R41

R42

R43

R53

b

Звено 1

прх

соs(j1+g1)

=

-T61sin(j1+g1)

пру

sin(j1+g1)

=

T61cоs(j1+g1)

М

=

Звено 2

прх

- cоs(j2+g2)

=

T61sin(j2+g2)

пру

- sin(j2+g2)

=

-T61cоs(j2+g2)

М

x26cоsg2 + +y26sing2

-(y3-y2)

(x3-x2)

=

Звено 3

прх

-1

=

пру

-1

=

М

-(y7-y3)

(x7-x3)

=

-T33 + T73

Звено 4

прх

-1

=

пру

-1

=

М

(y7-y4)

-(x7-x4)

=

T43 - T73

УЗ

М

Py

М

-1

=

-Py

-1

Решение системы линейных алгебраических уравнений определяет вектор реакций `R_i в кинематических парах участка механизма.

Ассоциативные свойства линейных систем позволяют решать построенные уравнения квазиравновесия для динамических систем с заранее неизвестными силами, формирующимися в процессе решения, весьма эффективно.

Если

Исходя из этих свойств, вектор решения уравнений квазиравновесия можно построить следующим образом

решения уравнения квазиравновесия, если компоненты упругой (внешней) силы, расположенные в правой известной части уравнений равны 1.

Каждой единичной компоненте упругой (внешней) силы будет соответствовать вектор решения – вектор «реактивных коэффициентов», а всем компонентам единичного вектора – матрица «реактивных коэффициентов». Для того чтобы различать полные реакции и «реактивные коэффициенты», обозначим матрицу «реактивных коэффициентов» следующим образом: , где нижний индекс указывает на номер компоненты упругой (внешней) силы, а верхний на номер компоненты вектора реакций. Верхний индекс может быть двухзначным, тогда первый символ указывает номер кинематической пары, а второй – направление компоненты.

Структура матрицы «реактивных коэффициентов» представлена ниже.

Компоненты матрицы (вектора) реактивных коэффициентов эффективно используются в задачах эквивалентного приведения податливости и зазоров.

Существующие стандартные программы решения линейных алгебраических уравнений позволяют получить решения сразу для нескольких векторов правых частей одновременно, то есть получить сразу и вектор решения, и всю матрицу «реактивных коэффициентов».

Дата добавления: 2014-01-14