Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Определение предела функции нескольких переменных такое же, что и для функции одной переменной. Для простоты формулировки рассмотрим определение для n= 2.

Определение. Число А называется пределом функции двух переменных f (х, у) при х® х_0, у® у₀ (или при М ® М₀), если" e >0 $ d _e > 0 такое, что для всех точек d-окрестности точки М­₀ (х_0, у₀) выполняется неравенство

, (1)

если (х, у)Î U _d (M ₀) (2)

В этом случае пишут:

, или.

Условие (2) означает, что точка М (х _, у) принадлежит d - окрестности точки М ­₀ (х _0, у ₀) и не совпадает с точкой М _0. Согласно определению, предел А не зависит от способа приближения точки М к точке М ₀: чтобы существовал предел f (М) при М® М ₀, все пределы по бесконечному множеству различных путей должны существовать и быть равными

В этом отношении для функции одной переменной дело обстоит проще; т.к. здесь х® х ₀ только по двум направлениям: слева и справа (рис. 7, б). Для существования

необходимо и достаточно, чтобы ; .

Так как определение предела для функции f (х, у) логически совпадает с определением предела для функции одной переменной, то остаются в силе все теоремы о пределе функции и правила их вычисления.

Иногда при вычислении предела функции двух переменных можно поступать следующим образом: вычисляют предел функции f (х, у) по всем возможным прямым, проходящим через точку М ₀ (при М ®М ₀), если все эти пределы равны числу А, то .

Пример 1. Показать, что

Пусть М ® М ₀ по прямой y=kx.. Тогда

0.

Значение предела не зависит от k, т.е. от направления прямой, поэтому А= 0.

Пример 2. Найти

(y=kx)=

Для разных прямых (различные k) получаем различые значения предела. Значит в точке О (0,0) функция предела не имеет.

Функция f(х,у) называется бесконечно малой, если .

Функция f (х,у) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если точка М₀ принадлежит области определения функции и если

(3)

Дата добавления: 2014-01-14