Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении R, L, С элементов

Допустим, что в цепи, содержащей последовательно соединенные элементы R, L, С (рисунок 6.2), протекает ток i = I_msin(wt + j_i). Согласно ЗНК напряжение на отдельных участках цепи определяется уравнением:

u = u_R + u_L +u_C = Ri +L . (5)

Рисунок 6.2 - RLC-цепь

На рисунке 6.2 изображена векторная диаграмма напряжений, описываемых этими уравнениями. Напряжение U_mR на активном сопротивленииR называется активной составляющей приложенного напряжения и обозначается U_ma = U_mR; разность напряжений U_mp = U_mL - U_mC называют реактивной составляющей. Согласно этому определению имеем: U_ma = I_mR; U_mp = I_m(X_L - X_C) = I_mX.

Величина Х = Х_L - X_C = wL - 1/(wС) называется реактивным сопротивлением, а величина Z = полным сопротивлением цепи.

Треугольник на векторной диаграмме, образованный напряжениями U_ma, U_mp, U_m называют треугольником напряжений, рисунок 6.3.

Если U_mL > U_mC (X_L > X_C), то цепь носит индуктивный характер (приложенное напряжение опережает ток);

если U_mL < U_mC (X_L < X_C), то цепь носит емкостной характер (приложенное напряжение отстает от тока).

Треугольник со сторонамиR, Х и Z, подобный треугольнику напряжений, называется треугольником сопротивлений.

Рисунок 6.3 - Векторные диаграммы элементов R, L, C

Из треугольников сопротивлений и напряжений следует:

; (6)

j = arctg(U_mp/U_ma) = arctg(X/R); (7)

R = Zcosj;X = Zsinj. (8)

Пример. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении R, L, С элементов

Приложим к цепи, содержащей параллельно соединенные элементы R, L, С (рисунок 6.4), напряжение u = U_msin(wt + j_u).

Рисунок 6.4 - Схема параллельной цепи

Согласно ЗТК ток в неразветвленной части цепи будет:

i = i_R + i_L + i_C = Gu + .

Или: .

Перепишем это уравнение в виде:

i = I_mRsin(wt + j_R) + I_mLsin(wt + j_L) + I_mCsin(wt + j_C),

где I_mR = U_m/R = GU_m; I_mL = В_LU_m; I_mC = B_CU_C; j_R = j_u; j_L = j_u - p/2; j_C = j_u + p/2.

На рисунке 6.4 изображена векторная диаграмма токов, описываемых этим уравнением. Ток в активном сопротивлении I_mR называют активной составляющей тока I_ma; разность токов I_mp = I_mL - I_mC - реактивной составляющей тока.

По аналогии с треугольником напряжений и сопротивлений при параллельном соединении элементов можно ввести треугольник токов и проводимостей (рисунок 6.5).

Рисунок 6.5 - Треугольники токов и проводимостей

Как следует из этого рисунка, при I_mL > I_mC цепь носит индуктивный характер (общий ток отстает от приложенного напряжения) и при I_mL < I_mC - емкостной характер (ток опережает приложенное напряжение). Из треугольников токов и проводимостей следует:

;

j = arctg(I_mp/I_ma) = arctg(B/G);

G = Ycosj; B = Ysinj.

Сравнение треугольников токов и проводимостей с треугольниками напряжений и сопротивлений показывает их дуальный характер. Дуальны также и все соотношения, описывающие цепи при последовательном и параллельном соединениях элементов, дуальны и сами цепи.

Символический метод расчёта при гармоническом воздействии

Дата добавления: 2014-01-14