КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ol — V2X 58 страница
Таким образом, мы приходим к выводу, что если на входе трубы скорость газа меньше скорости звука, то движение остается дозвуковым и на всем дальнейшем ее протяжении. Скорость, равная местной скорости звука, если и достигается вообще, то только на выходном конце трубы (при достаточно низком давлении во внешней среде, в которую выпускается газ). Для того чтобы осуществить сверхзвуковое течение газа по трубе, необходимо впускать газ в трубу уже со сверхзвуковой скоростью. В связи с общими свойствами сверхзвукового движения (невозможностью распространения возмущений вверх по течению) дальнейшее течение газа будет происходить совершенно независимо от условий на выходе из трубы. В частности, будет происходить совершенно определенным образом возрастание энтропии вдоль длины трубы, и максимальное ее значение будет достигнуто на определенном расстоянии х = 1к от входа. Если полная длина трубы / < lh, то течение будет сверхзвуковым на всем ее протяжении (чему соответствует перемещение по ветви АО по направлению от Л к О). Если же / > то течение не может быть сверхзвуковым на всем протяжении трубы и в то же время не может перейти плавным образом в дозвуковое, так как передвигаться по ветви ОВ кривой можно лишь в направлении, указанном стрелкой. Поэтому в этом случае неизбежно возникновение ударной волны, переводящей движение скачком из сверх- в дозвуковое. При этом давление возрастает, мы переходим с ветви Л О на ветвь ВО, минуя точку О, и на всем остальном протяжении трубы течение будет дозвуковым.
§ 99. Одномерное автомодельное движение Важную категорию одномерных нестационарных движений сжимаемого газа составляют течения, происходящие в условиях, характеризующихся какими-либо параметрами скорости, но не длины. Простейший пример такого движения представляет движение газа в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой, возникающее, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью.
Наряду с параметром скорости такое течение определяется ещё и параметрами, дающими, скажем, давление и плотность газа в начальный момент времени. Однако из всех этих параметров нельзя составить никаких комбинаций с размерностью длины или времени. Отсюда следует, что распределения всех величин могут зависеть от координаты х yi времени t только в виде их отношения x/t, имеющего размерность скорости. Другими словами, эти распределения в различные моменты времени будут подобны друг другу, отличаясь лишь своим масштабом вдоль оси х, увеличивающимся пропорционально времени. Можно сказать, что если измерять длины в единицах, растущих пропорционально t, то картина движения вообще не будет меняться — движение автомодельно. Уравнение сохранения энтропии для движения, зависящего только от одной координаты х, гласит: ds, ds п
Считая, что все величины зависят только от переменной | = x/t, и замечая, что при этом а 1 rf д \й dx t d\' dt t d\'
будем иметь (и* —|)s' = 0 (' означает дифференцирование no £). Отсюда s' — О, т. е. s = const1); таким образом, автомодельное одномерное движение не только адиабатично, но и изэнтропично. Аналогично из у- и 2-компонент уравнения Эйлера.
найдем, что vy и vz постоянны; не ограничивая общности, мы можем положить их в дальнейшем равными нулю. Далее, уравнение непрерывности и я-компонента уравнения Эйлера имеют вид #+р£ +»£-о. <".'>
(здесь и ниже пишем просто v вместо о*). После введения переменной g они примут вид (i>-|)P' + pi/ = 0, (99,3) (о-g)o' = —£-«=--£-(/. (99,4» (Имея в виду постоянство энтропии, пишем во втором уравнении р' = {др/др) sp' = с2р'-)
Эти уравнения имеют, прежде всего, тривиальное решение v = const, р == const — однородный поток с постоянной ско ростью. Для нахождения же нетривиального решения исключаем из уравнений р' и v' и получаем равенство (о — |)2 = с2, откуда £ = v ± с. Мы будем писать это соотношение со знаком плюс: j = v + c (99,5) (выбор знака означает, что мы принимаем определенное условие для выбора положительного направления оси х, смысл которого выяснится ниже). Наконец, подставляя о — | = —с в (99,3), получим ср' = ро' или р dv = с dp. Скорость звука является функцией термодинамического состояния газа; выбрав в качестве основных термодинамических величин энтропию s и плотность р, мы можем представить скорость звука в виде функции плотности с(р) при заданном постоянном значении энтропии. Подразумевая под с такую функцию, пишем на основании полученного равенства __ — ') Предположение же vx — £ = 0 противоречило бы остальным уравнениям движения: из (99,3) получилось бы vx = const в противоречие со сделанным предположением.. Эту формулу можно написать также и в виде Ш. (99,7) где не предрешается выбор независимого переменного. Формулы (99,5—6) определяют искомое решение уравнений движения. Если функция с(р) известна, то по формуле (99,6) вычисляем скорость v как функцию плотности. Уравнение (99,5) определит тогда в неявном виде зависимость плотности от x/t, после чего определится зависимость также и всех остальных величин от x/t. Выясним некоторые общие свойства полученного решения. Дифференцируя уравнение (99,5) по х, получаем: <£^=>- дам» Для производной от v -4- с имеем с помощью (99,6) d (v + с) _£._!_ dc 1 d (рс) dp р ' dp р dp *
Но dp -\/—dV/dp дифференцируя это выражение, получим: £(££). - г = Je£ (99)9) dp dp 2 V dp Таким образом:
d(v + с) р2с5 / d2V UH>0- (99'10) Из (99,8) следует поэтому, что при t > 0 будет - > 0. Заме- dv с dp dv _ л т,, имеем 'jx~—'p~~gY' так что "аТ-> *аким образом, имеем не- f>»• f>°- да») СмЫсл этих неравенств становится более ясным, если следить не за изменением величин вдоль оси х (при заданном t), а за их изменением с течением времени у данного передвигающегося в пространстве элемента газа. Эти изменения определяются полными производными по времени; так, для плотности имеем, воспользовавшись уравнением непрерывности:
dp dp. dp da Согласно третьему из неравенств (99,11) эта величина отрицательна; вместе с ней, разумеется, отрицательна и производная dp. dt " (99,12)
Аналогичным образом (используя уравнение Эйлера (99,2)) можно убедиться, что dv/dt < 0; это, однако, не означает, что абсолютная величина скорости падает со временем, так как у может быть отрицательной. Неравенства (99,12) показывают, что плотность и давление каждого элемента газа падают по мере его передвижения в пространстве. Другими словами, передвижение газа сопровождается его монотонным разрежением. Поэтому рассматриваемое движение можно назвать нестационарной волной разрежения1). Волна разрежения может простираться лишь на конечное расстояние вдоль оси л:; это видно уже из того, что формула (99,5) привела бы при л;-э-±оо к бессмысленному результату — бесконечной скорости. Применим формулу (99,5) к плоскости, ограничивающей занимаемую волной разрежения область пространства. При этом x/t будет представлять собой скорость движения этой границы относительно выбранной неподвижной системы координат. Скорость же ее относительно самого газа есть разность x/t — и и согласно (99,5) равна как раз местной скорости звука. Это значит, что границы волны разрежения представляют собой слабые разрывы. Картина автомодельного движения в различных конкретных случаях складывается, следовательно, из волн разрежения и областей постоянного течения, разделенных между собой поверхностями слабых разрывов (кроме того, конечно, могут иметься и различные области постоянного течения, разделенные между собой ударными волнами). Сделанный нами выбор знака в формуле (99,5) соответствует, как теперь видно, тому, что эти слабые разрывы предполагаются движущимися относительно газа в положительном направлении оси х. Неравенства (99,11) связаны именно с таким выбором; неравенства же (99,12), разумеется, от выбора направления оси х вообще не зависят.
Обычно приходится иметь дело с такой постановкой конкретных задач, при которой волна разрежения с одной стороны граничит с областью неподвижного газа. Пусть эта область (/ на
') Это движение может возникнуть лишь в результате наличия некоторой особенности в начальных условиях (так, в примере с поршнем в момент / = 0 скачком меняется скорость поршня). Обратное движение могло бы происходить лишь под действием сжимающего поршня, движущегося по вполне определенному закону. рис. 74) находится справа от волны разрежения. Область // есть волна разрежения, а /// — газ, движущийся с постоянной скоростью; стрелками на рисунке показаны направления движения газа и перемещения ограничивающих волну разрежения слабых разрывов (разрыв а движется непременно в сторону покояще- ,. гося газа, а разрыв Ь может двигаться | " в обоих направлениях в зависимости Ш \ ■*— \*. I от величины достигаемой в волне раз- , II пишем в явном виде соотношения ме- b о. жду различными величинами в такой Рис. 74 волне разрежения, предполагая газ по- литропным. При адиабатическом процессе p7,/(1_Y) == const. Поскольку скорость звука пропорциональна л/Т, то можно написать это соотношение в виде e = eo(tr-1)- (99ЛЗ) Подставляя это выражение в интеграл (99,6), получаем: о = —^—г \ dc = V— 1 J постоянная интегрирования выбрана так, что с = Со при v = О (индексом нуль отличаем значения величин в точке, в которой газ покоится). Будем выражать все величины через о, причем надо иметь в виду, что при условленном расположении областей скорость газа направлена в отрицательную сторону оси х, так что v <. 0. Таким образом: c = c0-l=±\v\, (99,14) чем определяется местная скорость звука через скорость газа. Подставляя в (99,13), находим для плотности:
и аналогично для давления (л Y — 1 | О 1 >k2Y/(V-l) р=а>(1-^Wi • (99>16) Наконец, подставляя (99,14) в формулу (99,5), получаем: If 1= ^тт(со-т)' (99,17) чем определяется зависимость v от х и t. Величина с не может быть, по самому своему существу, отрицательной, Поэтому из формулы (99,14) можно сделать суще ственное заключение, что скорость должна удовлетворять неравенству IoKttt; ("',8> при достижении скоростью этого предельного значения плотность газа (а также рис) обращается в нуль. Таким образом, первоначально покоившийся газ при нестационарном расширении в волне разрежения может ускориться лишь до скорости, не превышающей 2со/(у— 1). Мы уже упомянули в начале параграфа простой пример автомодельного движения, возникающего в цилиндрической трубе, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью. Если поршень выдвигается из трубы, он создает за собой разрежение, и возникает описанная выше волна разрежения. Если же поршень вдвигается в трубу, он производит перед собой сжатие газа, а переход к более низкому первоначальному давлению может произойти лишь в ударной волне, которая и возникает перед поршнем, распространяясь вперед по трубе (см. задачи к этому параграфу)1). Задачи
1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой. В начальный момент'времени поршень начинает вдвигаться в трубу с постоянной скоростью U. Определить возникающее движение газа (считая газ политропный).
Решение. Перед поршнем возникает ударная волна, передвигающаяся вперед по трубе. В начальный момент времени положения этой волны и поршня совпадают, а в дальнейшем волна «обгоняет» поршень и возникает область газа между ней и поршнем (область 2). В области впереди от ударной волны (область 1) давление газа равно его первоначальному значению р\, а скорость (относительно трубы) равна нулю. В области же 2 газ движется с постоянной скоростью, равной скорости поршня U (рис. 75). Разность скоростей газов / и 2 равна, следовательно, тому же U и согласно формулам (85.7) и (89,1) можно написать: U = V(p2 - Р,) (Vt - Кг) = (р2 - р,) д/ 21Л Pl +(Y+ 1) Р2 ') Упомянем об аналогичной трехмерной автомодельной задаче: центрально-симметрическом движении газа, создаваемом равномерно расширяющейся сферой (Л. И. Седов, 1945; G. Taylor, 1946). Перед сферой возникает сферическая же ударная волна, распространяющаяся с постоянной скоростью. В отличие от одномерного случая скорость движения газа между сферой и ударной волной не постоянна; уравнение, определяющее ее как функцию отношения г/t (а вместе с тем и скорость распространения ударной волны), не может быть проинтегрировано в аналитическом виде. См. Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1981, гл. IV, § 6;. Taylor G. 1. — Proc. Roy. Soc, 1946, v. А186, p. 273. Отсюда волной получаем для давления р2 газа между поршнем и ударной
Дата добавления: 2014-11-07; Просмотров: 403; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |