Должно быть 12 страница

divv' = 0, igl ₊ (vV)v'==-i-\7p' (1)

(под v и р подразумеваются vi, pi или v₂, рг) получаем, как и в § 29, уравнение

Др' = 0. (2)

На поверхности разрыва (т. е. при х «0) должны выполняться следующие условия: условие непрерывности давления

р[ = Р» (3)

условие непрерывности касательной к поверхности компоненты скорости

(где £ (У. О—малое смещение поверхности разрыва вдоль оси х при возму­щении) и условие неизменности нормальной скорости газа относительно раз­рыва

°и-1=4-! = 0. (5)

В области х < 0 (исходный газ 1) решение уравнений (1) и (2) пишем в виде

В области же х > 0 (газ 2, продукты горения) наряду с решением вида const е'^ку~ **-'<** должно быть учтено еще и другое частное решение урав­нений (1) и (2), в котором зависимость величин от у и t определяется тем же множителем _e^ikV~^lat, Это решение получится, если положить р' = 0; тогда в уравнении Эйлера правая часть исчезает, а остающееся однородное уравнение имеет решение, в котором

v'_x, v'_y оо ехр — Ш + * j.

Причина, по которой это решение должно быть учтено только для газа 2, а не для газа /, заключается в том, что нашей конечной целью является определение возможности существования таких частот со, у которых мнимая часть положительна; но для таких w множитель е^шх1" неограниченно воз­растал бы с |лс| при х < 0, и потому в области газа / такое решение должно быть отброшено. Подбирая опять соответствующим образом постоянные коэф­фициенты, ищем решение при х > 0 в виде

_р^ _ Q_eiky-kx-i<at _j_ Qgiky-ltat+lwx/ai

v'_2y = - iBe^iky-^kx-^ш - ~ Се^1к"- ^{ш+ Ш1в}\ (7)

■kx-Ш

Положив также

£ = De^ife0-^to' (8)

и подставив все полученные выражения в условия (3) —(5), получим четыре однородных уравнения для коэффициентов А, В, С, D¹). Простое вычисление приводит к следующему условию совместности этих уравнений (при вычисле­нии следует помнить, что / = p_tVi — p₂v₂):

Q² (t>i + о₂) + 2QkviV₂ + k²v_xo₂ (vi — v₂) = 0, (9)

где ft = —ко. Если t'i >- vi, то это уравнение имеет либо два отрицательных вещественных корня, либо два комплексно сопряженных корня с Re ft < 0; в этом случае движение устойчиво. Если же Oi < v₂ (и соответственно pi > Рг), то оба корня уравнения (9) вещественны, причем один из них поло­жителен:

=*°'7тЛл/^1+,*Ч-']

(где ц = pi/рг), так что движение неустойчиво; именно этот случай имеет место для фронта горения, поскольку плотность р₂ его продуктов всегда меньше плотности р₄ исходного газа в связи со значительным нагреванием.

Отметим, что Im Q = 0; это значит, что возмущения не распространяются вдоль фронта и усиливаются как стоячие волны. Неустойчивость имеет место для возмущений со всеми длинами волн, причем инкремент усиления растет с k (следует, однако, помнить, что исследование, в котором фронт рассматри­вается как геометрическая поверхность, относится лишь к возмущениям, дли­на волны которых велика по сравнению с 6: кб <. 1). При заданном к ин­кремент возрастает с увеличением р..

2. На поверхности жидкости происходит горение, причем самая реакция происходит в испаряющемся с поверхности паре²). Определить условие устой­чивости такого режима горения с учетом влияния поля тяжести и капилляр­ных сил (Л. Д. Ландау, 1944).

Решение. Рассматриваем зону горения в паре вблизи поверхности жидкости как поверхность разрыва, но приписываем теперь этой поверхности поверхностное натяжение а. Дальнейшие вычисления полностью аналогичны произведенным в задаче 1 с той лишь разницей, что вместо граничного усло­вия (3) имеем теперь

' д%

') Движение, описываемое формулами (6), потенциально; для движения же, описываемого формулами (7), rot v₂ Ф 0. Таким образом, движение продуктов горения за возмущенным фронтом оказывается завихренным. ³) Речь идет о реакции, происходящей в самом веществе пара, без уча­стия каких-либо посторонних компонент (например, кислорода воздуха), т.е. о реакции самопроизвольного разложения.

р, _ р₂ = _ о _J| ₊ (р, _ _Ра)

(средой 1 является жидкость, а средой 2 — сгоревший газ). Условия же (4) и (5) не меняются. Вместо уравнения (9) получаем теперь

Q? (о, + о_а) + 2Qfto,o, + [k² (о, - v_a) + ^{gk (Pl} ~ j*²* ^{+ ak}* ] o,t», = 0.

Условие устойчивости рассматриваемого режима заключается в требовании, чтобы корни этого уравнения имели отрицательную вещественную часть, т. е. свободный член уравнения должен быть положительным при произвольном k. Это требование приводит к условию устойчивости:

4agp²p!

f <

Pi — Рг

Поскольку плотность газообразных продуктов горения мала по сравнению с плотностью жидкости (pi S» рг), то это условие фактически сводится к не­равенству

У⁴ < 4agP!p|

3. Определить распределение температуры в газе перед плоским фронтом пламени.

dx dx² T=T₀e-^v'^xlx,

Решение. В системе координат, движущейся вместе с фронтом, рас­пределение температуры стационарно, а газ движется со скоростью —»i. Уравнение теплопроводности

_ur dT d²T

имеет решение

v VT = - о, —г- = х ■

где Г₀ — температура на фронте пламени, отсчитываемая от температуры вдали от него.

§ 129. Детонация

В описанном выше режиме медленного горения его распро­странение по газу обусловливается нагреванием, происходящим путем непосредственной передачи тепла от горящего к еще не воспламенившемуся газу. Наряду с таким возможен и совсем иной механизм распространения горения, связанный с ударными волнами. Ударная волна вызывает при своем прохождении на­гревание газа — температура газа позади волны выше, чем впе­реди нее. Если интенсивность ударной волны достаточно велика, то вызываемое ею повышение температуры может оказаться'до­статочным для того, чтобы в газе могло начаться горение. Удар­ная волна при своем движении будет тогда как бы поджигать газовую смесь, т. е. горение будет распространяться со ско­ростью, равной скорости волны, — гораздо быстрее, чем при обычном горении. Такой механизм распространения горения на­зывают детонацией.

Когда через некоторое место газа проходит ударная волна, в этом месте начинается реакция, после чего она будет продол­жаться здесь до тех пор, пока не сгорит весь газ в этом месте,

т. е. в течение некоторого характерного для кинетики данной реакции времени т¹). Поэтому ясно, что за ударной волной бу­дет следовать передвигающийся вместе с нею слой, в котором и происходит горение, причем толщина этого слоя равна произ­ведению скорости распространения волны на время т. Суще­ственно, что она не зависит от размеров тел, фигурирующих в данной конкретной задаче. Поэтому при достаточно больших ха­рактерных размерах задачи можно рассматривать ударную волну вместе со следующей за ней областью горения как одну поверхность разрыва, отделяющую сгоревший газ от несгорев-шего. О такой «поверхности раз- р рыва» мы будем говорить как о де­тонационной волне.

На детонационной волне должны выполняться условия непрерывности плотностей потоков массы, энергии и импульса и остаются справедли­выми все выведенные ранее для ударных волн соотношения (85,1 — 10), являющиеся следствием одних только этих условий. Остается, в частности, справедливым уравнение

(129,1)

(буквы с индексом 1 будут везде от­носиться к исходному, несгоревшему,

газу, а с индексом 2—к продуктам горения). Кривую зави­симости р₂ от V₂, определяемую этим уравнением, будем называть детонационной адиабатой. В противоположность рас­сматривавшейся ранее ударной адиабате эта кривая не проходит через исходную заданную точку р_и V\. Свойство ударной адиа­баты проходить через эту точку было связано с тем, что w\ и w₂ были одинаковыми функциями соответственно от р_и Vi и р₂, V₂, что теперь ввиду химического различия обоих газов не имеет места. На рис. 132 сплошной линией изображена детонационная адиабата. Через точку р_и Vi проведена пунктиром в качестве вспомогательной кривой обычная ударная адиабата для исходной горючей смеси. Детонационная адиабата всегда расположена над ударной в связи с тем, что при горении развивается высокая температура и давление газа увеличивается по сравнению с тем, которое имел бы несгоревший газ при том же удельном объеме.

') Это время, однако, само зависит от интенсивности ударной волны: оно быстро убывает с ростом интенсивности волны в связи с увеличением скорости протекания реакции при повышении температуры!

Для плотности потока вещества имеет место прежняя фор­мула (85,6)

так что графически —/² есть по-прежнему тангенс угла наклона к оси абсцисс хорды, проведенной из точки pi, Vi в произволь­ную точку р₂, V₂ детонационной адиабаты (например, хорда ас на рис. 132). Из чертежа сразу видно, что j² не может быть меньше значения, соответствующего наклону касательной аО. Поток / представляет собой не что иное, как количество сго­рающего в единицу времени вещества (отнесенное к 1 см² по­верхности детонационной волны); мы видим, что при детонации это количество не может быть меньше определенного предела /min (зависящего от начального состояния исходного газа).

Формула (129,2) является следствием одних лишь условий непрерывности потоков массы и импульса. Поэтому уравнение (129,2) справедливо (при заданном исходном состоянии газа) не только для окончательного состояния продуктов горения, но и для всех промежуточных состояний, в которых выделилась еще лишь часть энергии реакции¹). Другими словами, давление р и удельный объем V вещества во всех этих состояниях связаны друг с другом линейным соотношением

P = Pi + i²(V_l-V), (129,3)

которое графически изображается точками хорды ad (В. А. Ма­хе льсон, 1890).

Проследим теперь (следуя Я. Б. Зельдовичу, 1940) за ходом изменения состояния вещества вдоль слоя конечной ширины, которым в действительности является детонационная волна. Пе­редний фронт детонационной волны представляет собой'истин­ную ударную волну в газе / (исходной горючей смеси). В ней вещество подвергается сжатию и нагреванию, приводящему его в состояние, изображающееся точкой d (рис. 132) на ударной адиабате газа /. В сжатом веществе начинается химическая ре­акция, по мере протекания которой состояние вещества изобра­жается точкой, передвигающейся вниз по хорде da; при этом выделяется тепло, вещество расширяется, а его давление падает. Так продолжается до тех пор, пока не закончится горение и не выделится все тепло реакции. Этому моменту соответствует точ­ка с, лежащая на детонационной адиабате, изображающей ко­нечные состояния продуктов горения. Что же касается нижней точки Ь пересечения хорды ad с детонационной адиабатой, то

') Здесь предполагатся, что диффузией и вязкостью в зоне горения мож­но пренебречь, так что перенос массы и импульса осуществляется только за счет гидродинамического движения.

она оказывается недостижимой для вещества, в котором горе­ние вызвано его сжатием и разогреванием в ударной волне^[22]).

Таким образом, мы приходим к важному результату, что де­тонации отвечает не вся кривая детонационной адиабаты, а лишь ее верхняя часть, лежащая над точкой О, в которой адиа­бата касается прямой, проведенной из начальной точки а.

В § 87 было показано, что в точке, где d(j ^[23] )/dp₂ = 0 (т. е. хорда 12 касается ударной адиабаты), скорость v₂ совпадает с соответствующим значением скорости звука с₂. Этот резуль­тат был получен исходя из одних только законов сохранения на поверхности разрыва, и потому в полной мере применим и к детонационной волне. На обычной ударной адиабате для одного газа таких точек нет (как это было показано там же). На де­тонационной же адиабате такая точка имеется — точка О. Од­новременно с равенством v₂ = с₂ в такой точке имеет место так­же и неравенство (87,10) d(v₂/c₂)/dp₂ < 0, а потому при боль­ших р₂, т. е. над точкой О, скорость v₂ <С с₂. Поскольку детона­ции соответствует именно верхняя часть адиабаты над точкой О, то мы приходим к результату, что

V₂ < С₂,

(129,4)

т. е. детонационная волна движется относительно остающегося непосредственно за нею газа со скоростью, равной или меньшей скорости звука; равенство v₂ = с₂ имеет место для детонации, соответствующей точке О (точка Чепмена — Жуге) ^[24] ).

Что касается скорости волны относительно газа /, то она всегда (в том числе и для точки О) является сверхзвуковой:

Vi > С].

(129,5)

В этом проще всего можно убедиться непосредственно из рис. 132. Скорость звука ci графически определяется наклоном касательной к ударной адиабате газа / ^пунктирная кривая) в точке а. Скорость же v\ определяется наклоном хорды ас. По­скольку все рассматриваемые хорды идут круче указанной ка­сательной, то. всегда v\ > с_х. Перемещаясь со сверхзвуковой ско­ростью, детонационная волна, как и ударная волна, никак не влияет на состояние находящегося перед нею газа. Скорость vi перемещения волны относительно исходного неподвижного газа и есть та скорость, о которой надо говорить как о скорости рас­пространения детонации в горючей смеси.

Поскольку ui/Ti == v₂/V₂ = /, a Vi > V₂, то vi > v₂. Разность же v\ — V2 есть скорость движения продуктов горения относи­тельно несгоревшего газа. Эта разность положительна, т. е. про­дукты горения движутся в сторону распространения детонацион­ной волны.

Отметим еще следующее обстоятельство. В том же § 87 было

показано, что "j^y > О- Поэтому в точке, где /² имеет минимум,

минимально также и s₂. Такой точкой является как раз точка О, и мы заключаем, что она соответствует наименьшему значению энтропии s₂ на детонационной адиабате. Энтропия s₂ имеет экс­тремум в точке О также и если следить за изменением состояния вдоль прямой ае (поскольку наклоны кривой и касательной в точке О совпадают). Этот экстремум, однако, является макси­мумом (В. А. Михельсон). Действительно, перемещению от точ­ки е к О соответствует изменение состояния по мере протека­ния в сжатой смеси реакции горения, сопровождающейся выде­лением тепла и ростом энтропии; переход же из О в а соответ­ствовал бы эндотермическому превращению продуктов горения в исходное вещество, обладающее меньшей энтропией.

Если детонация вызывается ударной волной, возникшей от какого-либо постороннего источника и падающей на горючую смесь, то такой детонации может соответствовать любая точка, лежащая на верхней части детонационной адиабаты. В особен­ности интересна, однако, детонация, возникающая самопроиз­вольно, в результате самого процесса горения. В следующем параграфе мы увидим, что в ряде важных случаев такая детона­ция непременно должна соответствовать точке Чепмена — Жуге, так что скорость детонационной волны относительно остающихся непосредственно за ней продуктов горения равна как раз ско­рости звука, а скорость относительно исходного газа v\ = jVt имеет наименьшее возможное значение¹).

Выведем теперь соотношения между различными величинами в детонационной волне в политропном газе. Подставляя в общее уравнение (129,1) тепловую функцию в виде

w = w₀ + с_рТ = w₀ + 7—f •

получаем:

^^±\p₂V₂-^^±\piV_x-V_{p₂+V₂p_l=2q, (129,6)

где посредством q = w₀\ — w_Q2 опять обозначена теплота реакции (приведенная к абсолютному нулю температуры). Определяемая этим уравнением кривая p2{V₂) является равнобочной гипербо­лой. При рг/р1-»-оо отношение плотностей стремится к конеч­ному пределу

Ра __ У\ _ Уа + 1 Pi Vi у₂ — 1 '

это — наибольшее сжатие вещества, которое может быть достиг­нуто в детонационной волне.

Формулы сильно упрощаются в важном случае сильных дето­национных волн, получающихся, когда выделяющаяся теплота реакции велика по сравнению с внутренней тепловой энергией исходного газа, т. е. q^$> c_viTi. В этом случае можно пренебречь в (129,6) членами, содержащими pi, и получается

P2(^jV₂-Vi)^2q. (129,7)

Рассмотрим более подробно детонацию, соответствующую точке Чепмена — Жуге, представляющую согласно сказанному выше особый интерес. В этой точке имеем:

„ 4 У2Р₂

П v₂

Из этого соотношения и соотношения (129,2) можно выразить
р₂ и V₂ ъ виде

^Р2~ у₂+1 ' /²(У₂+1) ' ⁽¹²⁹'⁸⁾

Подставляя теперь эти выражения в уравнение (129,6) и вводя вместо потока / скорость v\ = jV\, получаем после простого при­ведения следующее биквадратное уравнение для v\:

«! - 2о? [(Yi - 1) Я + (Yi - Y.) с₀₁Г,] + у* (у, - 1У clJi = О

(температура введена здесь согласно T — pV/{c_p — c_v) — = pV/c_v(y— 1)) - Отсюда имеем '):

Pi=pf¹1(Y2+Dq+ (Y. + Y₂) c_v{T_x}\¹²+

+ pf¹ l(Y» ~ D<7 + (Y* - Yi)^,]}"". (129,9)

горения и после детонации, равно

Т\°» y₂+1

Это отношение всегда больше единицы (так как всегда у₂ > 1)'. Задача

Определить термодинамические величины газа непосредственно за удар­ной волной, являющейся передним фронтом сильной детонационной волны, соответствующей точке Чепмена — Жуге.

Решение. Непосредственно за ударной волной имеется еще несгорев-шая газовая смесь, и ее состояние изображается точкой е пересечения про­должения касательной аО (рис. 132) с изображенной пунктиром ударной адиабатой газа 1. Обозначая координаты этой точки посредством р₁₍ V_[t имеем, с одной стороны, согласно уравнению (89,1) ударной адиабаты газа/:

V[ _ (Vi+ l)Pi+(Vi-!)/>[

V_x (Yi-l)Pi+(Yi + l)p[

и, с другой стороны,

pi-Pi., °|

V_t - V\ V\ '

Взяв для vi значение из (129,14), получим:

4(Y²2-D Я „. Y, — I. q 4(у|-1)

Р\=Р\---------------- 2----:-------- Т^-' ^Ki ^{= |/}i---------- ГТ' 1,,ч2 •

VI — 1 c_vJi Yi + 1 c₀| (Yi + D

Отношение давления р, к давлению р₂ позади детонационной волны равно

_Pi_ _{= 2} Y2+ 1

Yi + 1

§ 130. Распространение детонационной волны

Рассмотрим теперь несколько конкретных случаев распро­странения детонационных волн в газе, который первоначально покоился. Начнем с детонации в газе, находящемся в трубе, один из концов которой (х = 0) закрыт. Граничные условия в этом случае требуют равенства нулю скорости газа как впереди де­тонационной волны (детонационная волна не влияет на состоя­ние газа, находящегося перед нею), так и на закрытом конце трубы. Поскольку при прохождении детонационной волны газ приобретает отличную от нуля скорость, то в пространстве ме­жду волной и закрытым концом трубы должно происходить па­дение его скорости. Для того чтобы определить возникающую при этом картину движения газа, замечаем, что в рассматривае­мой задаче нет никаких параметров длины, которые бы харак­теризовали условия движения вдоль длины трубы (оси х). Мы видели в § 99, что в таком случае изменение скорости газа мо­жет произойти либо в ударной волне (разделяющей две об­ласти постоянной скорости), либо в автомодельной волне раз­режения.

Предположим сначала, что детонационная волна не соответ­ствует точке Чепмена — Жуге. Тогда скорость ее распростране­ния относительно остающегося за нею газа и₂ < с₂. Легко ви­деть, что в таком случае за детонационной волной не могут сле­довать ни ударная волна, ни слабый разрыв (передний фронт волны разрежения). Действительно первая должна перемещать­ся относительно находящегося перед нею газа со скоростью, пре­вышающей с₂, а второй — со скоростью, равной с₂; в обоих слу­чаях они перегоняли бы детонационную волну. Таким образом, при сделанном предположении оказывается невозможным умень­шить скорость движущегося за детонационной волной газа, т. е. невозможно удовлетворить граничному условию при х = 0.

Удовлетворить этому условию можно лишь с детонационной волной, соответствующей точке Чепмена — Жуге. В этом слу­чае v₂ = с₂, и за детонационной волной может следовать волна разрежения. Возникнув в точке х = 0 одновре­менно с началом детонации, волна разрежения будет иметь передний фронт совпадающим с де­тонационной волной.

Таким образом, мы приходим к существен­ному результату, что детонационная волна, рас­пространяющаяся по трубе в подожженном у ее закрытого конца газе, должна соответствовать точке Чепмена — Жуге. Она движется относи­тельно находящегося непосредственно за нею газа со скоростью, равной местной скорости зву­ка. От самой детонационной волны начинается область волны разрежения, в которой скорость газа (относительно трубы) монотонно падает до нуля. Точка, в которой скорость впервые обращается в нуль, является слабым разрывом. Позади слабого разрыва газ неподвижен (рис. 133,а).

Рассмотрим теперь детонационную волну, распространяю­щуюся по трубе от открытого ее конца. Давление газа, находя­щегося перед детонационной волной, должно быть равно перво­начальному давлению исходного газа, совпадающему, очевидно, с внешним давлением. Ясно, что и в этом случае где-то позади детонационной волны должно происходить падение скорости. Если бы на всем протяжении от начала трубы до волны скорость газа была постоянной, то это значило бы, что на открытом конце трубы происходит засасывание газа извне; между тем давление газа в трубе было бы выше внешнего (так как за детонационной волной давление выше, чем перед нею), и потому такое засасыва­ние невозможно. По таким же причинам, как и в предыдущем случае, детонационная волна должна соответствовать точке Чеп­мена—Жуге. В результате получается картина движения, схе­матически изображенная на рис. 133,6. Непосредственно за де­тонационной волной начинается область автомодельной волны разрежения, в которой скорость монотонно падает по направле­нию к началу трубы, причем меняет в некоторой точке знак. Это значит, что в некотором начальном участке трубы газ будет дви­гаться в направлении к открытому концу трубы, из которого и будет вытекать наружу; выходная скорость этого вытекания равна местному значению скорости звука, а выходное давление превышает внешнее (мы видели в § 97, что такой режим выте­кания возможен)^[25]).

Рассмотрим, далее, важный случай сферической детонацион­ной волны, расходящейся от точки начального воспламенения газа как из центра (Я. Б Зельдович, 1942). Поскольку газ дол­жен быть неподвижным как впереди детонационной волны, так и вблизи центра, то и здесь скорость газа должна падать по на­правлению от волны к центру. Как и в случае движения в трубе, здесь также нет никаких заданных характерных параметров размерности длины. Поэтому возникающее движение газа долж­но быть автомодельным, с той разницей, что роль координаты х играет теперь расстояние г от центра; таким образом, все вели-; чины должны быть функциями только отношения г/г^[26]).

Для центрально-симметричного движения (v, — v(r, t). u_v =•■ = ие = 0) уравнения движения имеют следующий вид. Уравне­ние непрерывности:

др, д(ур), 2ор_ __ „
dt дг ' г '

уравнение Эйлера

dv_. dv_ 1_ др_

dt dr ~ р дг

и уравнение сохранения энтропии

ds. ds _п

Вводя переменную g —г/г(| > 0) и считая, что все величины являются функциями только от |, получим следующую систему уравнении:

(l-v)-^ = v' + ^-, (130,1)

(|-о)»'=.£-, (130,2)

(l — v)s' = 0 (130.3J!

(' означает дифференцирование по |). Положить здесь и = | нельзя, так как это противоречит первому уравнению. Поэтому из третьего сразу имеем s' — 0, т. е.

s = const.

Имея в виду постоянство энтропии, можем написать р' = с²р', и уравнение (130,2) приобретает вид

(!_и)г/ = с²-^-. (130,4)

Подставив сюда р'/р из (130,1), получаем следующее соотно­шение:

[^--^'-т- <¹³⁰>⁵>

Уравнения (130,4) и (130,5) не могут быть проинтегрированы в аналитическом виде, но свойства их решения могут быть иссле­дованы.

Область, в которой газ совершает движение рассматривае­мого типа, ограничена, как мы увидим ниже, двумя сферами, из которых наружная представляет собой поверхность самой дето­национной волны, а внутренняя является поверхностью слабого разрыва, причем скорость обращается на ней в нуль.

Изучим прежде всего свойства решения вблизи точки, где и обращается в нуль. Легко видеть, что в точке, где v = 0, непре­менно должно быть одновременно £ = с:

0 = 0, 1 = с. (130,6)

Действительно, при стремлении и к нулю In у стремится к —со; поэтому, когда £, уменьшаясь, стремится к значению, соответ­ствующему внутренней границе рассматриваемой области, про­изводная d\nv/dt, должна стремиться к -foo. Между тем иэ (130,5) имеем при о = 0

d In о _ 2

dl — 6(8*/с^я-П •

Это выражение может стремиться к -f-oo лишь при |->-с.

В самом начале координат радиальная скорость должна об­ратиться в нуль уже непосредственно в силу симметрии. Таким образом, вокруг начала координат будет находиться область не­подвижного газа (область внутри сферы | = с₀, где с₀ — значе­ние скорости звука при v = 0).

Выясним свойства функции у(.|) вблизи точки (130,6). Из (130,5) имеем:

^V dv 2 L с^{2 l}\-

С точностью до величин первого порядка малости (каковыми яв­ляются v, \ — с₀, с — с₀) получаем после простого вычисления!

v ^d%~^Co) =(|-Со)-(о + _С-с„).

Согласно (102,1) имеем v + с — c₀ = a₀v, где ос₀ — положитель­ная постоянная (значение при v = Q величины (102,2)), и мы получаем для | — с₀ как функции от v следующее линейное диф­ференциальное уравнение первого порядка:

d (i — с₀).

о _dv -(l-c₀) = -a₀v.

Решение этого уравнения есть

£-c₀ = a₀i/ln^-. (130,7)

Этим определяется в неявном виде функция и(|) вблизи точки, где v = 0.

Мы видим, что внутренняя граница является поверхностью слабого разрыва: скорость обращается на ней в нуль, не испы­тывая скачка. Кривая зависимости у(|) имеет на этой границе горизонтальную касательную (dv/dl = 0). Мы имеем здесь дело со слабым разрывом весьма своеобразного типа: первая произ­водная на нем непрерывна, а все производные высших порядков обращаются в бесконечность (в чем легко убедиться на основа­нии (130,7)). Отношение г/г при и = 0 есть, очевидно, не что иное, как скорость перемещения границы области относительно газа; согласно (130,6) она равна местному значению скорости звука, как и должно быть для слабого разрыва.

Далее имеем при малых v согласно (130,7):

Эта величина при малых v положительна:

I — v — с > 0.

Покажем, что нигде внутри области рассматриваемого движения разность (| — v) — с не может именить знак. Рассмотрим точку, в которой было бы

l — _v = c, офО. (130,8)

Из (130,5) видно, что в такой точке производная v' должна об­ратиться в бесконечность, т. е.

Что касается второй производной d²%/dv², то простое вычисление дает для нее (при условиях (130,8) и (130,9) значение

dv² с₀

Дата добавления: 2014-11-07