Чудові границі

Озн.5 Точка розриву функції наз. точкою розриву 1 роду, якщо ф-я має скінченні границі зліва та справа.

Класифікація точок розриву функції

Якщо т. x₀ належить обл.. визначення ф-ії, або її межі і не є точкою неперервності то кажуть, що x₀ - точка розриву ф-ії. Це можливо в слідуючи випадках:

1) в т. x₀ ф-ія не визначена

2)не існує границя ф-ії при xx₀

3)границя існує, але вона не дорівнює значенню ф-ії в т.x_0.

lim f(x) = f (x₀-0); lim f(x)= f (x₀+0)

^{0 0}

Озн.6 Якщо границя зліва і справа скінченні числа, маємо стрибок.

Озн.7 Точка x₀ розриву першого роду, в якій f (x-0)=f (x+0) f(x) наз. точкою усуненого розриву.

Озн.8 Якщо ф-я на відрізку [a,b] має лише скінченне число точок розриву 1 роду, то її наз. кусочно-неперервною.

Озн.9 Якщо хоча б одна границя справа або зліва дорівнює нескінченності маємо розрив 2 роду.

розрив 2 роду

1.Перша чудова границя

lim або lim

Доведення

Розгл. дугу кола радіуса R=1, з центральним кутом х (0<x</2) ОА =1 sin x = MK; tg x = AT(1)

_М ^Т SOAM < S_cekOAM<SOAT.

_х 1/2OA ^. MK<1/2 OA ^. AM<1/2OA ^. AT. Використаємо

О К А рів-я (1) 1/2 sin x< 1/2 x<1/2tg x => sinx<x<tgx/sinx (2)

1>>cos

0<1-<1-cos x, т.я.sin x/2 <1 то sin² x/2< sin x/2 враховуючи (2) х, яке належить (0, ) маємо 1-соs x - 2sin² x/2< 2 sin x/2<2 ^. x/2

т.ч. 0<1-<x, візьмемо >0,= min{,} =>x ,виконаємо перевірку х<=> 0<1-=> => 1= -до тогож

- парна => ліва границя в т.х=0=1 ⁰

ð lim .

Приклад.

2.Друга чудова границя.

^u =^{1/ u} = e

Доведення.

Раніше доведимо, що lim (1+) ⁿ = e, доведимо, що lim (1+) ^x = e.

Нехай х>1;n=[x]=> x = n + де n N, [0;1)Т.я. n x<n+1 то ⁿ < ^x < ^{n +1} при х(n)

lim (1+) ⁿ⁺¹ = lim ⁿ lim = e 1=e

lim ⁿ = = = e => lim ^x = e.

Розгл. х<-1, нахай х = -у, => ^x = ^-y = ^y =

^y

= ^y-1 =e ^. 1 =e при х

Приклад.

lim ^{x / 2} = e

^x

^x =lim ^{(x-2) / 4* (4/ (x-2)) * x} = e ^{lim 4x / x-2} =e⁴

§ 8. ПОХІДНА ФУНКЦІЯ

Нехай задана функція f (х). Розглянемо 2 значення аргум. х₀ і х

y Δх = х – х₀ ; Δy = y – y₀ = f (x) – f(x₀)

y₀ т. ч. x = x₀ + Δx

Δx Озн 1 Похідною y = f (x) в т. x₀ наз. границя відношен-

⁰ x₀ x ня приросту ф – ції Δy в цій точці, до приросту

аргумента Δx, якщо x→ 0

f ' (x) =

Нехай на кривій задана т. М₀

M Озн.2 Дотичною є пряма, яка займає

граничне положення січної.

М0 _{Δ У}

У₀

α Розглянемо графік y = f(x), яка має в

β т. М₀ (x_0,y₀) невертикальну дотичну.

0 х₀ х₀+х Знайдемо кутовий коефіцієнт.

k = tg α, для цього проведемо через

т. М₀ січну М₀М де М(x₀+ ∆x; y₀+∆y).

Її кутовий коефіцієнт k_січ = tg β = , при , при цьому січна необмежено наближається до дотичної, тобто β = α, а тому tg β = tg α кутовий коефіцієнт дотичної:

k = tg α = tg β = = y′ = f ′ (x₀)

Висновок Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці з

абсцисою Х₀ дорівнює значенню похідної цієї функції в т. x₀

k = f ′ (x₀)

Озн. 3 Якщо f(x) має неперервну похідну f ′ (x) на [а,b], то ф-ція f(x) наз.

гладкою на цьому проміжку.

Озн. 4 Функція f (х) похідна якої f ′ (х) допускає тільки скінчене число

точок розриву, причому I роду, на даному проміжку [а,b],

наз. кусочно – гладкою на цьому проміжку.

Зауваження Знаходження похідної ф – ції наз. диференціюванням

Теорема Якщо ф – ція диференційована, в будь якій точці то вона не-

перервна у ній.

§ 9. ПРАВИЛА ДІФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ

Теорема 1 Якщо ф – ції u = u (x) та v = v (x), диференційовані в даній

точці х

То в цій же точці диференційована і їх сума, до того ж:

(u + v)' = u' + v'

Доведення Розглянемо ф – цію y = f (x) = u (x) + v (x), приросту Δх

відповідає приріст

Δy = f (x + Δx) – f (x) = u (x + Δx) + v (x + Δx) – u (x) – v (x)

= (u (x + Δx) – u (x)) + (v (x +Δx) – v (x)) = Δu = Δv

Тоді y' = u' + v'

Зауваження: аналогічно (u – v)' = u' - v'

Теорема 2 Якщо ф – ції u = u (x) та v = v (x), диференційовані на проміжку

(a, b), то

(u _*v)' = u' v + uv'

Доведення Якщо x – отримує приріст Δx, то ф – ції y = u _* v отримують

Відповідно Δy, Δu, Δv, причому

Δy = (u+Δu) _* (v+Δv) – uv = Δuv + uΔv +ΔuΔv, тоді

Наслідок (c_*u)'= c_*u'

Теорема 3 Якщо в даній точці x ф – ції u = u (x) та v = v (x) диф – ні

та v (x) ≠ 0, то в цій точці диф – на і частка

Доведення Нехай Δx – приріст, а Δu та Δv – відповідний приріст

ф – цій тоді y = u/v отримає приріст

тоді

0

Похідна складної ф – ції

Теорема 4 Нехай y = q (x), x є (a, b) має похідну в т. x₀ є (a, b), а

z = φ (y) має похідну в т. y₀ = q (x₀). Тоді z (х) = φ (q (x))

має похідну в т. x₀ до того ж

z' (x₀) = φ' (y₀) _* q (x₀)

Доведення z = φ (q (x)) має похідну =>

Похідна оберненої, неявної ф – ції та ф – ції заданої параметрично

Теорема 5 Якщо для ф – ції y = f (x) існує обернена ф – ція x = φ (y), яка

в розглядуваній точці у' має похідну φ' (у), відмінну від нуля,

то в відповідній т. x ф – ція у = f (х) має похідну f ' (x) рівну

тобто f ' (x) =

Доведення Візьмемо приріст Δy тоді Δx = φ (у + Δу) – φ (у) так як

f (х) монотонна то,

Δx ≠ 0 → так як φ (у) неперервна,

то Δx → 0 при Δy→ 0. Тоді ч. т. д.

Нехай ф – ція задана параметричними рівняннями х = х (t) – існують

y = у (t)

в околі т. t, при чому х' (t) ≠ 0, тоді

, тобто y' (х) =

Нехай ф – ція задана рівнянням F (х, у) = 0, а не у = f (х), тобто неявно. Для того, щоб знайти похідну треба про диференціювати обидві частини цього рівняння по х і з отриманого р – ня знайти у ' (х).

Приклад х² – ln y – x² e^y = 0 (x ^tgx)

Таблиця похідних

Для U = U (x) виконується:

c'=0

x' = 1

(u ⁿ)' = u' nu^n-1

(а^u) = a^u u' ln a

(e^u)' = e^u u'

(sin u)' = u' cos u

(cos u)' = u' sin u

(tg u) ' =

(ctg u) ' =

(arcsin u) ' =

(arcos u) ' =

(arctg u) ' =

(sh u)' = u' ch u

(ch u)' = u' sh u

(ln u) ' =

(log_a u) ' =

§ 10. РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ ТА НОРМАЛІ ДО КРИВОЇ

Розглянемо криву y = f (x). На цій лінії візьмемо т. М₀ (х₀. у₀)

yo

Q)α P (R

0 xo

Запишемо р – ня дотичної, що проходить через т. М₀ і не║осі ОУ.

Рівняння прямої з даним кутовим коефіцієнтом ″К″ що проходить через т. М₀ (х_0, у₀) має вигляд:

у - у₀ = К (х – х₀); К = f ' (x₀) =>

=> y - y₀ = f ' (x₀) * (х – х₀)

Озн. 1 Нормаллю до кривої в даній точці наз. пряма, що проходить через

цю точку перпендикулярна до дотичної.

Довжина відрізку QM₀ дотичной називається довжиною дотичної. Проекція цього відрізку на вісь ОХ QP називається під дотичною. Довжина М₀R називається довжиною нормалі, а проекція RP – називається під нормаллю.

§ 11. ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

Озн. 1 Якщо функція має першу похідну, то похідна від похідної

першого порядку наз. похідною другого порядку, або другою

похідною.

аналогічно

Похідна позначається римськими цифрами: IV, V … або (n – 1), (n) фізичний зміст похідної другого порядку:

- прискорення прямолінійного руху за час t.

Друга похідна ф – ції заданої параметрично:

§ 12. ПОНЯТТЯ ДИФЕРЕНЦІАЛУ

Якщо ф – ція y = f (х) диференційована на [a. b], то відповідно до властивості границі і нескінченно малої.

f ' (x₀) + α (Δx), де α (Δx) → 0 коли Δx→ 0, тоді Δf (x₀) = f ' (x₀) Δx + α (Δx) Δx

Озн. 1 Якщо функція f (х) має в точці х₀ похідну f ' (x₀), тоді добуток

f ' (x₀) Δх наз. диференціалом ф – ції f (x) в т. x₀ і записують df (x₀) = f ' (x₀) Δx.

T. я. dx = x ' Δx = 1 _*Δx тобто dx ≈ Δx

маємо df (x) = f ' (x) dx

Усі формули похідної працюють для диф – ла, як і властивості.

Геометричний зміст диф – лу

f(x₀+Δx) N

Δу _K

f (x₀) м)α O

Δx

0 x₀ x₀+Δx

МК – дотична

З ΔМКО маєм КО = МО _* tg

Але МО = Δх, tg = f ' (x₀)

т. ч. КО = f ' (x₀) _* Δx = dy

Т. ч. Диф – ал ф – ції y = f (x)

в т. x₀ дорівнює приросту

ординати дотичної.

dy ≠ Δy KO ≠ N, але при малих

Δх, Δу ≈ dy

Застосування диференціалу до наближених обчислень

Δу = f ' (x)Δx => f (x+Δx) – f (x) = f ' (x)Δx

f (x+Δx) = f (x) + f ' (x)Δx

Озн. 2 Абсолютною похибкою Δо наближеної величини x наз. модуль

різниці між її точним значенням "а" та наближеним

Δо =

Озн. 3 Відносною похибкою δ називають: δ =

Диференціали вищих порядків

Озн. 4 Диф – ал від диф – ла першого порядку називають диф – лом

другого порядку

d²y = d (dy) d²y = f '' (x) dx²

Аналогічно знаходимо диф – ал 3 ^го та 4 ^го порядку.

d ⁿ y = d (d ^n-1 y) = f ⁽ⁿ⁾ (x) dx ⁿ

Зауваження Теореми про добуток і частку похідної справедливі і

для диф – лу d (uv) = duv + dvdu

d , але для диф – лу (n > 1) порядку вони

мають зміст тільки коли х незалежна змінна.

(Тобто для складної ф – ції ці формули не виконуються)

d²y = d (dy) = d (φ' (z)dz) = dz d (φ' (z)) + φ' (z) d (dz) = dz φ'' (zdz + φ' (z)) d²z = φ'' (x)dz² = φ' (z)d² z.

§ 13. ДЕЯКІ ТЕОРЕМИ ПРО ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІ Ф – ЦІЇ.

ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ

Теорема Ферма (Фр. 1601 – 1665)

Нехай функція y = f (x) визначена на інтервалі (a, b) і приймає в деякій

Точці x = c є (a, b) найбільше або найменше значення. Тоді якщо в т.

x = c існує похідна цієї ф – ції, вона дорівнює нулю.

y

c _Х

0 a в

Довед. Нехай в т. c ф – ція приймає найбільше значення f (c) = М, на ін-тервалі (a, b) Покажемо що f ' (c)=0

Так як f ' (c) =

т. я. в т. c значення найбільше =>

f (c) ≥ f (c + Δx) i f (c +Δx) – f (c) ≤ 0 =>

Глава 1

Дата добавления: 2014-10-15