КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
Граничное поведение Если мы имеем одно из представлений
выведенных в предыдущем пункте, то возникает задача нахождения связи между U(z) и функцией F(t) или мерой dμ(t). Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточные для многих рассмотрений. Ядро Пуассона обладает следующими свойствами: а) Рr(φ)>0, r < 1; b) Рr(φ+2π)= Рr(φ) с) для любого r <1. Свойства а) и b) очевидны, а с) следует из разложения в ряд для Pr(φ). Если то удобно считать, что функция F периодически продолжена на всё множество R: F(t+2π)=F(t). Отныне будем это предполагать. Теорема. Если p ≥l, , a , то функция U(z) — гармоническая в круге {|z|<1} Доказательство. Пусть . Тогда для 0 ≤r < 1 имеем Непосредственно проверяется, что функция U(z) гармонична в { |r|< 1}, так как ряд сходится равномерно во внутренности круга. (Если функция F —вещественная, то ряд, очевидно, является вещественной частью аналитической функции, которая легко выписывается.) Для данного r < 1 в силу свойства b) и 2π-периодичности функции F мы можем, кроме того, записать . Возьмём теперь ,||G||q=1, так что (для любого фиксированного r; функция G, конечно, будет зависеть от r) . По теореме Фубини интеграл справа равен что по модулю не превосходит (в силу выбора G и свойства с)). Наконец, что и требовалось доказать Теорема. Пусть μ — конечная вещественная мера на [-π,π]. Тогда функция гармонична в {| r |< 1} и . Доказательство. Гармоничность устанавливается так же, как и выше. Пусть дано r, и пусть функция , = 1, такова, что -п Интеграл в правой части по теореме Фубини равен и в силу а)—с) по модулю не превосходит Вот и всё.
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 335; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |